Dando la vuelta a base de entornos

Hoy hemos dado las condiciones para que una familia de subconjuntos $\beta_x$ asociada a cada punto $x\in X$ de un conjunto (donde no hay definida previamente una topología) sea base de entornos de una topología definida en $X$:

1. $x\in V$, $\forall V\in\beta_x$.
2. Si $V_1, V_2\in\beta_x$, entonces existe $V_3\in\beta_x$ tal que $V_3\subset V_1\cap V_2$.
3. Si $V\in\beta_x$, entonces existe $V_0\in\beta_x$ tal que para todo $y\in V_0$, existe $V_y\in\beta_y$ tal que $V_y\subset V$.

Podemos ahora plantear una serie de ejercicios que consiste en darle la vuelta a resultados que ya tenemos en algunos espacios topológicos. Para mostrar un ejemplo, consideramos el siguiente. Sea $X$ un conjunto y $p\in X$ un punto que se fija. Sabemos que en $X$ existe la topología del punto incluido para $p$, pero ahora nos olvidamos de dicha topología, como si no supiéramos nada de ella.

Definimos para cada $x\in X$, $V_x=\{x,p\}$ y sea $\beta_x=\{V_x\}$. El primer ejercicio es probar que $\beta_x$ es base de entornos para una topología en $X$: hay que probar que se verifican las tres propiedades anteriores.

Llamamos $\tau$ a la topología que genera $\beta_x$. Recordemos que si tenemos la base de entornos, tenemos los entornos de $x$, sin más que coger todos los conjuntos que contengan a todos los conjuntos de $\beta_x$. En nuestro caso,
$${\cal U}_x=\{U\subset X: \{x,p\}\subset U\}.$$Los conjuntos abiertos son los conjuntos que son entornos de todos sus puntos.

Otra forma es sabiendo que los abiertos son los conjuntos que son entornos de todos sus puntos, y que si $\beta_x$ es base de entornos, entonces $O\in\tau$ si y sólamente si para todo $x\in X$, $V_x\subset O$.

Después de estos recordatorios, el ejercicio que queda es probar que
$$O\subset X\mbox{ es abierto si y sólamente si } p\in O.$$ Y con esto recuperaríamos la topología de punto incluido definida ya hace un par de semanas.

Y lo mismo que se ha hecho con la topología del punto incluido, podemos hacer con todas las topologías que ya conocemos una base de entornos, por ejemplo, la recta euclídea. Así que consideramos la recta real ${\mathbb R}$ y nos olvidamos de cómo era la topología usual de ${\mathbb R}$. Para cada $x\in{\mathbb R}$ definimos
$$\beta_x=\{(x-r,x+r): r>0\},$$
y probamos que $\beta_x$ es base de entornos de una topología $\tau$ definida en ${\mathbb R}$. El ejercicio consistiría pues en probar que $$\beta=\{(a,b): a < b, a,b\in{\mathbb R}\}$$
es base de abiertos de la topología $\tau$.