Distancias equivalentes

Para demostrar que dos distancias son equivalentes, se utiliza habitualmente la siguiente condición suficiente: 

Si $X$ es un conjunto y $d$, $d'$ son dos distancias tales que existen $K,M>0$ con $d\leq K d'$ y $d'\leq M d$, entonces $d$ y $d'$ son equivalentes.

Concretamente, si $d\leq K d'$, entonces las topología $\tau$ que genera $d$ está incluida en la topología $\tau'$ que determina $d'$.

Esta condición no es necesaria y para mostrar un ejemplo, tomamos las dos distancias de la entrada anterior. Ya se sabe que son equivalentes. Además, ya que $d'\leq d$, entonces tenemos una desigualdad del tipo anterior tomando $M=1$.

Sin embargo, no existe $K>0$ tal que $d\leq K d'$. Si fuera así, y ya que $d'$ está acotada por $1$, se tendría que $d$ también está acotada, lo cual no es cierto en general: por ejemplo tomando $X={\mathbb R}$ y $d$ la distancia usual.