Calculando el interior de un conjunto en diferentes espacios topológicos

Consideramos el conjunto $X=[0,3)\cup\{5\}$ con su topología usual como espacio métrico con la distancia euclídea. Tomamos el conjunto $A=\{5\}$ y su interior en $X$ es $A$. Esto contrasta con que el interior de $A$ en ${\mathbb R}$ es $\emptyset$. Aquí estamos suponiendo que ${\mathbb R}$ tiene su topología euclídea (con la misma distancia euclídea). Esto no es más que una muestra de que el interior de un conjunto (y lo mismo con el exterior, frontera o adherencia) depende del espacio topológico donde esté. Por ello, las palabras correctas son el interior de $A$ en el espacio topológico $(X,\tau)$. Del mismo modo, la adherencia de $(2,3)$ en $X$ es $[2,3)$ mientras que la adherencia en ${\mathbb R}$ es $[2,3]$.

Si tomamos ahora $A=(1,2)$ no es difícil probar que el interior de $A$ en $X$ es $(1,2)$, que coincide con el interior de $A$ en ${\mathbb R}$. Para este mismo conjunto, la adherencia es $[1,2]$, tanto en $A$ como en ${\mathbb R}$. Por tanto, la frontera de $A$, tanto en $X$ como en ${\mathbb R}$ coincide.

El exterior de $A$ en $X$ como en ${\mathbb R}$ ¡no pueden coincidir!, porque el exterior es el interior del complementario y $X-A$ no es ${\mathbb R}-A$.

Os animo a encontrar más subconjuntos de $X$ cuyo interior, adherencia (y por tanto, frontera) coincidan tanto en $X$ como en ${\mathbb R}$.