domingo, 3 de mayo de 2009

El cono como conjunto cociente del cilindro

Ya hemos comentado que hacer topologías cocientes es "pegar" a través de la relación de equivalencia. Exactamente, es como si cogiéramos los puntos que están relacionados entre sí y los pegáramos en un único punto (su clase de equivalencia). Si esto lo hacemos para subconjuntos de espacios euclídeos, con la topología usual, entonces la topología cociente se obtiene, efectivamente, de "pegar". Como ejemplo tenemos el siguiente, el cual podemos resumirlo diciendo: "el cono se puede obtener como conjunto cociente del cilindro".

Lo que se va a hacer es tomar un (único) círculo del cilindro y pegarlo (reducirlo) en un único punto. El espacio que queda es como si al cilindro le estrujáramos por el centro con la mano, convirtiendo el correspondiente círculo en un punto. Es natural pensar que el espacio que queda es homeomorfo al cono.

Tomamos el cilindro $X$ de ecuación $x^2+y^2=1$ y el cono $Y$ de ecuación $z^2=x^2+y^2$. En $X$ se define la relación de equivalencia R dada por dos puntos $(x,y,z)$, $(a,b,c)$ están relacionados si son iguales o $z=c=0$, es decir, si ambos puntos pertenecen al círculo de X a altura 0.

Consideramos el conjunto cociente $X/R$. Establecemos la siguiente aplicación $f:X\rightarrow Y$ mediante $f(x,y,z)=(zx,zy,z)$. Esta aplicación me lleva cada círculo del cilindro $X$ en el círculo del cono $Y$ a la misma altura. Observemos que el círculo de altura $0$ lo lleva al punto $(0,0,0)$ del cono.

Si denotamos por $R_f$ la relación de equivalencia determinada por $f$, es decir, $(x,y,z) R_f (a,b,c)$ si $f(x,y,z)=f(a,b,c)$, es fácil observar que la relación $R_f$ es la relación $R$. Como la aplicación es sobreyectiva, entonces f induce una aplicación biyectiva $f:X/R\rightarrow Y$.

La aplicación $F$ es un homeomorfismo. Por tanto, el cono se obtiene como espacio cociente del cilindro para una determinada relación de equivalencia.

3 comentarios:

  1. Para probar el resultado falta ver que f es identificación (y así, tenemos que f_ es homeomorfismo)

    i)Ya sabemos que f es una aplicación sobreyectiva.
    ii) Veamos que f es continua:

    f:R^3->R^3, f(x,y,z)=(zx,zy,z). Basta ver que componiendo con las proyecciones p1, p2, p3 de R^3 obtenemos aplicaciones continuas:

    1)p1f:R^3->R, p1f(x,y,z)=zx

    Pero, si consideramos P:R^3->R^2, P(x,y,z)=(x,z) es una aplicación continua pues su composición con las proyecciones de R^2 es la primera y la tercera proyección de R^3, que son continuas.

    Y por otro lado, la aplicación g:R^2->R, g(x,y)=x.y también es contínua por ser producto de las aplicaciones p1 y p2 proyecciones de R^2,
    p1.p2:R^2->R, p1.p2(x,y)=p1(x,y).p2(x,y)=x.y, que son continuas.

    Ahora, nuestra aplicacción p1f=gP
    p1f(x,y,z=xz
    gP(x,y,z)=g(x,z)=x.z

    2)p2f:R^3->R, p2f(x,y,z)=z.y
    Se comprueba la continuidad de manera análoga al caso anterior.

    3)p3f:R^3->R, p3f(x,y,z)=z=p3 continua.

    Por tanto, la aplicación f es continua.

    iii) f es cerrada.
    f es una aplicación continua que va desde un espacio compacto (X es cerrado y acotado de R^3)a un espacio T2 (f(X) es un subespacio de R^3, que es T2)

    Por tanto, f es una identificación.
    Entonces, f_ es un homeomorfismo.

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  2. Mmm, ahora que lo pienso EL CILINDRO NO ES UN SUBCONJUNTO ACOTADO DE R^3, por lo tanto el razonamiento anterior no es correcto, pues no es compacto.

    ¿Entonces?
    ¿Cómo vemos que la aplicación f_ es homeomorfismo?

    Directamente, podemos probar:

    i)f_ continua.

    f_p=f es continua (lo vimos antes)

    ii) f_ abierta (O f_ cerrada)

    ¿Habría otra manera de hacerlo?

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  3. Creo que la aplicación no es abierta: basta tomar un abierto en el cilindro que contenga parte del círculo z=0. Su imagen, que contiene al origen, no es abierto.

    La aplicación es cerrada: se hace por sucesiones.

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