viernes, 22 de mayo de 2009

Frisos y grupos cristalográficos

Los movimientos rígidos del plano están formados por traslaciones, rotaciones, reflexiones (respecto de una recta) y reflexiones seguidas de deslizamiento (con vector de deslizamiento paralelo a la recta de simetría). Consideremos una figura F del plano y G(F) el conjunto de movimientos del plano que dejan fija F, es decir, g(F)=F, con g\in G(F). Dada una figura F, existe un motivo M,
M\subset F
tal que cuando hacemos actuar los movimientos de G(F), obtenemos F.

Si el grupo G(F) tiene un subgrupo de traslaciones T(F), entonces sólo cabe la posibilidad de que T(F) esté generado por una traslación no trivial, o por dos traslaciones linealmente independientes.

Tomamos ahora F como el plano euclídeo.

Un friso es un motivo que es repetido una y otra vez siguiendo una dirección U del plano. Por tanto, T(F) está generado por un elemento. Entonces existe un rectángulo que contiene al motivo del friso y uno de cuyos lados coincide con el vector U. Un friso puede verse como la acción de un grupo generado por una traslación sobre el plano. El espacio cociente por dicha acción es un cilindro. Hay sólo siete formas de generar un friso a partir de un motivo M mínimo. Podéis verlo aquí.

Un mosaico es un motivo que se repite en dos direcciones distintas del plano (las losetas necesarias para recubrir todo el plano). Un grupo cristalográfico es aquél que tiene como subgrupo de traslaciones el generado por dos traslaciones linealmente independientes. Los dos vectores U y V que generan dichas traslaciones determinan un paralelogramo fundamental (loseta). El grupo de traslaciones actúa sobre el plano dando como cociente un toro. Existen 17 grupos cristalográficos. En los mosaicos de la Alhambra de Granada es posible encontrar ejemplos de todos los grupos cristalográficos del plano.

Podéis ver más información sobre frisos y grupos cristalográficos en esta página web y en este artículo.


4 comentarios:

  1. Según tengo entendido, la riqueza matemática de la Alhambra, entre otras cosas, viene dada por ser el ÚNICO monumento de la antigüedad en el que aparecen representados los 17 grupos cristalográficos.

    ResponderEliminar
  2. Si queréis podéis visitar esta otra entrada donde muestro como diseñar frisos y mosaicos con papel de seda.

    http://topologia.wordpress.com/2009/05/24/frisos-y-mosaicos-con-papel-de-seda/

    ResponderEliminar