miércoles, 27 de mayo de 2009

Pegar dos "conjuntos iguales"

Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}^(n-1)$ y consideramos dos "copias" del mismo en R^n del siguiente modo: $X=(A\times\{0\})\cup(A\times\{1\})$. Definimos la relación de equivalencia R que identifica el punto (a,0) con $(a,1)$. Intuitivamente el espacio cociente $X/R$ consiste en pegar $A\times\{0\}$ con $A\times\{1\}$ y por tanto, el espacio cociente debe ser, por ejemplo, una copia de A. Veamos la demostración.

Se define la aplicación $f:X\rightarrow A$ definida por $f(a,t)=a$. Esta aplicación es continua y sobreyectiva. La relación de equivalencia asociada es $R_f$. Por otro lado, $f$ tiene una inversa continua por la derecha, a saber: $g(a)=(a,0)$. Por tanto, $f$ es una identificación y el espacio cociente $X/R$ es homeomorfo a $A$.


Por ejemplo, si tomo dos copias de un disco y pego uno sobre otro, lo que "queda" es de nuevo un disco.

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada