Sigo con la misma idea que la entrada anterior. Si queremos cubrir una pared (un plano) mediante una loseta (una baldosa) que vamos repitiéndola por medio de dos traslaciones linealmente independientes, hay 17 formas de hacerlo. Cada baldosa se construye con un motivo (pieza generatriz) a la que se le aplica movimientos rígidos del plano, hasta construir la baldosa. Si la pieza generatriz no tiene ninguna simetría (el caso más simple de grupo cristalográfico), entonces podemos ver nuestro mosaico como el conjunto cociente del plano R^2 mediante el grupo de dos traslaciones linealmente independientes. Dicho cociente es un toro.
Sin embargo, si la pieza generatriz tiene simetrías, los conjuntos cocientes puedes ser de varias formas. El grupo de simetría que tiene la figura es lo se llama grupo cristalográfico. En el primer ejemplo, este grupo es la identidad (después se le aplica el grupo de traslaciones en dos direcciones no proporcionales).
En la entrada anterior, se vio un ejemplo de mosaico cuyo cociente es la banda de Möbius. Hay otros mosaicos, cuyos cocientes son planos proyectivos, y botellas de Klein. El grupo cristalográfico de éste último se llama pg. Ver más información aquí.
En la Puerta del vino, en la Alhambra, hay un ejemplo de este mosaico, aunque algo deteriorado. Pongo un dibujo.
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