En \mathbb{R}^n considera la distancia discreta, es decir, la que está definida como d(x,y)=0 si x=y y d(x,y)=1 si x no es y. Entonces las bolas son B_r(x)=\{x\} si r es menor o igual que 1 y B_r(x)=\mathbb{R}^n si r>1. Sabemos que (\mathbb{R}^n,d) es un espacio métrico y la base formada por las bolas son base de una topología. Por tanto, los elementos de esa base son conjuntos formados por un punto y \mathbb{R}^n, es decir, \beta=\{\{x\};x\in R^n\}\cup\{R^n\}.
La topología que da dicha base es la topología discreta. Primera observación: los abiertos NO son los conjuntos formados por puntos y \mathbb{R}^n. Los abiertos son uniones de ellos.
De esta forma, si A es un subconjunto cualquiera de \mathbb{R}^n, entonces A es unión de sus puntos, los cuales al ser abiertos (están en la base), A es unión de abiertos, luego abierto. Esto prueba que la topología es la discreta.
(por María Rita)
La topología que da dicha base es la topología discreta. Primera observación: los abiertos NO son los conjuntos formados por puntos y \mathbb{R}^n. Los abiertos son uniones de ellos.
De esta forma, si A es un subconjunto cualquiera de \mathbb{R}^n, entonces A es unión de sus puntos, los cuales al ser abiertos (están en la base), A es unión de abiertos, luego abierto. Esto prueba que la topología es la discreta.
(por María Rita)
En la topología discreta, cada punto es un elemento de dicha topología, es decir, es un conjunto abierto!!
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