TOPOLOGIA I: Topología usual / topología de Sorgenfrey

miércoles, 7 de octubre de 2009

Estas topología son diferentes. En verdad, la topología usual

$\tau_u$ está incluida en

$\tau_S$ . Llamamos

$\beta=\{(x,y);x < y, x,y\in {\mathbb R}\}$ y

$\gamma=\{[x,y);x < y, x,y\in {\mathbb R}\}$ las bases de

$\tau_u$ y

$\tau_S$ .

Un elemento de

$\beta$ es abierto en

$\tau_S$ : sea

$(a,b)$ y

$x\in(a,b)$ . Entonces

$x\in [\frac{a+x}{2},\frac{b+x}{2})\subset(a,b).$ Si los elementos de

$\beta$ están en

$\tau_S$ , las uniones arbitrarias de

$\beta$ (es decir,

$\tau_u$ ) son abiertos en

$\tau_S$ , por ser unión de abiertos.

El conjunto

$[0,1)$ pertenece a

$\tau_S$ , pero no a

$\tau_u$ , pues tendría que existir

$a$ y

$b$ tales que

$0\in (a,b)\subset [0,1).$ Del hecho

$0\in (a,b)$ se tiene

$a< 0 < b$ y de la inclusión

$(a,b)\subset [0,1]$ que

$0\leq a$ : contradicción.

(por R. Ruiz)