miércoles, 18 de noviembre de 2009

Deformaciones a través de afinidades

Una afinidad en R^n es una aplicación del tipo x \longmapsto Ax+b, donde A es una matriz cuadrada nxn y regular, y b es un vector de R^n. Se ha visto hoy en clase que las afinidades son homeomorfismos.

Si tomamos un subconjunto A de R^n y le aplicamos una afinidad f, nos da un conjunto f(A) que es homeomorfo a A. Como ejemplos tenemos:

Todas las bolas de R^n son homeomorfas entre sí, a través de traslaciones y homotecias.

Todos los subespacios vectoriales de la misma dimensión son homeomorfos entre sí, ya que siempre hay un isomorfismo que lleve uno en otro. Así, todas las rectas de R^n son homeomorfas entre sí. Todos los planos son homeomorfos entre sí.

Una elipse de R^2 es homeomorfa a un círculo de R^2. Un elipsoide de R^3 a una esfera de R^3. Esto se hace a través de una aplicación del tipo f(x,y,z)=(ax,by,cz), donde a, b y c son constantes.

Si tomamos cilindros, entonces todos son homeomorfos entre sí, independientemente del radio o del eje.

5 comentarios:

  1. Pedro Jesus Barragan22 de noviembre de 2009, 18:53

    Hemos dicho que una elipse es homeomorfa a un círculo, una elipsoide es homeomorfa a una esfera. Parece claro que si esto lo llevamos a polígonos, por ejemplo, cualquier triángulo es homeomorfo a otro triángulo, un cuadrado sería homeomorfo a un rectángulo. Pero, ¿podríamos generalizar diciendo que cualquier polígono de N lados es homeomorfo a otro polígono de N lados?
    Esta pregunta parece claro que sí.
    Pero, ¿sería homeomorfo un polígono de N lados a un polígono de M lados con N distinto de M ?
    Por ejemplo, ¿un cuadrado podría ser homeomorfo a un triángulo?

    ResponderEliminar
  2. Pues yo creo que no, imagínate el caso de un cuadrado (N=4) y un triángulo equilátero.

    Imagínate que cogemos un lado del cuadrado y lo juntamos de tal modo que quede un triángulo equilátero.

    Entonces se han juntado 2 vértices en 1, y anteriormente esos 2 vértices no eran continuos y ahora sí (es el mismo)

    entonces no sería homeomorfo.

    Me equivoco?

    ResponderEliminar
  3. Vale, lo que yo he comentado, no es homeomorfo, pero acaba de salirme un homeomorfismo con ayuda.

    Sea ABCD un triángulo con vértices (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).

    Puedo establecer un homeomorfismo con esta aplicación:

    f(x,y) = (x,0) si (x,y) € { R x {0} }
    f(x,y) = (0,y) si (x,y) € { {0} x R }
    f(x,y) = (x, -x+1) si (x,y) € COMPLEMENTARIO DE LA UNION DE LOS 2 ANTERIORES

    Con esto lo que conseguimos es un triángulo de vértices (0,0), (1,0), (0,1)

    ResponderEliminar
  4. Todo polígono simple es homeomorfo a un triángulo! Por ejemplo para un cuadrilátero cualquiera, basta con recordar que puede pensarse como unión de triángulos. Como dos triángulos cualesquiera son homeomorfos, aplicando el lema del pegado llegaríamos a que el cuadrilátero es homeomorfo al triángulo. De la demostración del polígono no estoy segura :S

    ResponderEliminar
  5. Cual es el homeomorfismo que lleva el elipsoide a la esfera

    ResponderEliminar