Separación: algunos ejemplos

En la entrada anterior, aparecía la topología trivial como ejemplo de un espacio topológico que era regular pero no Haussdorff. Pregunta: alguien podría poner otro ejemplo.

Otra pregunta: ¿y un espacio que no fuera ni regular ni T_1?

Más preguntas: aparte de los que se han explicado en clase, buscar un ejemplo de un espacio normal pero no regular; y de un espacio que sea regular pero no normal.

Hoy he hablado sobre el siguiente libro:

Counterexamples in Topology, de Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr. Dover Publications, 1995. Esta edición es una nueva de otra anterior. Sorprendentemente (para mí), el propio libro tiene una entrada en la Wikipedia, la cual de por sí es interesante de leer. Véase aquí.

El resumen del libro es el siguiente: "Over 140 examples, preceded by a succinct exposition of general topology and basic terminology. Each example treated as a whole. Over 25 Venn diagrams and charts summarize properties of the examples, while discussions of general methods of construction and change give readers insight into constructing counterexamples. Includes problems and exercises, correlated with examples."

La caracterización de espacio regular

Se ha caracterizado un espacio regular como aquél que cada punto tiene una base de entornos cerrados. En el espacio trivial, la (única) base de entornos para cada punto está formada por un único entorno, que es el espacio total, el cual es evidentemente cerrado. Por tanto, la topología trivial es regular. Este espacio no es Haussdorff.

Del mismo modo, la topología de los complementos finitos no es regular, ya que ningún entorno de un punto es cerrado: si U es un entorno de un punto, dentro existe un abierto O, es decir, un conjunto cuyo complementario es finito. Entonces X-U está incluido en X-O, y por tanto, X-U es finito. Como consecuencia, U no es finito (porque X es infinito), y no se puede ser cerrado.

La caracterización permite probar que la propiedad es hereditaria (en clase se había demostrado usando la definición de regularidad). En efecto, si X es un espacio regular, A un subconjunto suyo y x un elemento de A, se sabe que existe una base de entornos cerrados (en X). Intersecamos dicha base con A. Se sabe que es una base de entornos en la topología relativa de A. Además, cada intersección es un cerrado en A (intersección de un cerado de X con el conjunto A). Por tanto, A es un espacio regular.

Un espacio topológico que no es T_0

Se sabe que el espacio topológico trivial no es $T_0$. No es el único ejemplo.

Sea $X$ un conjunto con con al menos tres elementos, sean $p$ y $q$ dos elementos concretos y sea T la siguiente topología: un conjunto $O$ es abierto si contiene a $p$ y a $q$. Esta topología es la topología de "los dos puntos incluidos". Es evidente que el espacio no es la topología trivial. Este espacio no es $T_0$, ya que la propiedad falla justamente en los puntos $p$ y $q$: todo entorno de $p$, debe contener a un abierto, y por tanto, a $p$ y a $q$. De la misma forma, todo entorno de $q$ contiene a $p$. Por tanto, el espacio no es $T_0$.

La diferencia con el espacio trivial es que la propiedad $T_0$ no se satisface sólo para los puntos $p$ y $q$ (en la topología trivial sucedía para cualquier par de puntos). Exactamente, sea x un punto distinto de $p$ y $q$. Entonces $\{p,q\}$ es un entorno de $p$ que no contiene a $x$. Sean ahora $x$ e $y$ dos puntos distintos y distintos ambos de $p$ y $q$. Entonces $\{x,p,q\}$ es un entorno de $x$ que no contiene a $y$. De la misma forma, $\{y,p,q\}$ es un entorno de $y$ que no contiene a $x$.

Axiomas de separación y espacios métricos

Como veremos en este tema, los espacios métricos satisfacen todos los axiomas de separación que vamos a definir. Por tanto, y en cierto sentido, el hecho de que un espacio topológico satisface uno u otro axioma, nos va a indicar cuánto de análogo es a un espacio métrico. El ejemplo más claro lo tenemos con el axioma Haussdorff. Un espacio métrico es Haussdorff, y en tal caso, ya se probó que toda sucesión convergente tiene un límite único.

Por tanto, si tomamos un espacio no Haussdorff, podrá haber sucesiones con diferentes límites. El espacio de Sierpinski es un ejemplo. Sea $X=\{a,b\}$ con la topología $T=\{\emptyset,X,\{a\}\}.$ Este espacio no es Haussdorff ya que el único entorno de $b$ es $X$, que contiene al elemento $a$. En dicho espacio, tomamos la sucesión $\{x_n=a\}_n.$ Esta sucesión tiene dos límites, a saber, $a$ y $b$. Es evidente que converge a $a$, por ser una sucesión constante (en todo espacio topológico, toda sucesión constante es convergente y un límite es el elemento que se va repitiendo en la sucesión). Pero además, también converge a $b$: sea $U$ un entorno de $b$. Por tanto, $U=X$, y todo elemento de la sucesión cae dentro de $U$. Esto dice que $b$ es un límite.

En el espacio de Sierpinski, no todas las sucesiones convergentes tienen varios límites. Por ejemplo, la sucesión constantemente igual a $b$, converge a $b$, pero a no es un límite suyo: en tal caso, dado $U=\{a\}$ entorno de $a$, a partir de un cierto lugar, la sucesión debería estar en $U$, lo cual es falso.