Un espacio topológico que no es T_0

Se sabe que el espacio topológico trivial no es $T_0$. No es el único ejemplo.

Sea $X$ un conjunto con con al menos tres elementos, sean $p$ y $q$ dos elementos concretos y sea T la siguiente topología: un conjunto $O$ es abierto si contiene a $p$ y a $q$. Esta topología es la topología de "los dos puntos incluidos". Es evidente que el espacio no es la topología trivial. Este espacio no es $T_0$, ya que la propiedad falla justamente en los puntos $p$ y $q$: todo entorno de $p$, debe contener a un abierto, y por tanto, a $p$ y a $q$. De la misma forma, todo entorno de $q$ contiene a $p$. Por tanto, el espacio no es $T_0$.

La diferencia con el espacio trivial es que la propiedad $T_0$ no se satisface sólo para los puntos $p$ y $q$ (en la topología trivial sucedía para cualquier par de puntos). Exactamente, sea x un punto distinto de $p$ y $q$. Entonces $\{p,q\}$ es un entorno de $p$ que no contiene a $x$. Sean ahora $x$ e $y$ dos puntos distintos y distintos ambos de $p$ y $q$. Entonces $\{x,p,q\}$ es un entorno de $x$ que no contiene a $y$. De la misma forma, $\{y,p,q\}$ es un entorno de $y$ que no contiene a $x$.