lunes, 2 de marzo de 2009

Axiomas de separación y espacios métricos

Como veremos en este tema, los espacios métricos satisfacen todos los axiomas de separación que vamos a definir. Por tanto, y en cierto sentido, el hecho de que un espacio topológico satisface uno u otro axioma, nos va a indicar cuánto de análogo es a un espacio métrico. El ejemplo más claro lo tenemos con el axioma Haussdorff. Un espacio métrico es Haussdorff, y en tal caso, ya se probó que toda sucesión convergente tiene un límite único.

Por tanto, si tomamos un espacio no Haussdorff, podrá haber sucesiones con diferentes límites. El espacio de Sierpinski es un ejemplo. Sea $X=\{a,b\}$ con la topología $T=\{\emptyset,X,\{a\}\}.$ Este espacio no es Haussdorff ya que el único entorno de $b$ es $X$, que contiene al elemento $a$. En dicho espacio, tomamos la sucesión $\{x_n=a\}_n.$ Esta sucesión tiene dos límites, a saber, $a$ y $b$. Es evidente que converge a $a$, por ser una sucesión constante (en todo espacio topológico, toda sucesión constante es convergente y un límite es el elemento que se va repitiendo en la sucesión). Pero además, también converge a $b$: sea $U$ un entorno de $b$. Por tanto, $U=X$, y todo elemento de la sucesión cae dentro de $U$. Esto dice que $b$ es un límite.

En el espacio de Sierpinski, no todas las sucesiones convergentes tienen varios límites. Por ejemplo, la sucesión constantemente igual a $b$, converge a $b$, pero a no es un límite suyo: en tal caso, dado $U=\{a\}$ entorno de $a$, a partir de un cierto lugar, la sucesión debería estar en $U$, lo cual es falso.

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