Recortando banda de Möbius

Tomamos una botella de Klein, como el conjunto cociente de un cuadrado. Quitamos una banda de Möbius. ¿qué tipo de superficie queda? Lo vemos en la siguiente figura, como un proceso de recortes y acciones de pegado.

La respuesta es: ¡otra banda de Möbius!. Más sobre la botella de Klein la podéis encontrar en http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Klein2.html. También la podéis "tocar" aquí.

Tomamos ahora un plano proyectivo y como antes, quitamos una banda de Möbius. ¿qué queda ahora? Con un proceso parecido al de antes tenemos:

¡un disco! o una esfera a la que se le ha quitado un disco.

En la página web http://www.mathcurve.com/surfaces/planprojectif/planprojectif.shtml podéis ver diferentes representaciones del plano proyectivo, y en cada una de ellas, podéis manipularla. Por ejemplo, aquí.

De cualquier forma, existen numerosos vídeo en youtube.com sobre la botella de Klein y el plano proyectivo.

El cono como conjunto cociente del cilindro

Ya hemos comentado que hacer topologías cocientes es "pegar" a través de la relación de equivalencia. Exactamente, es como si cogiéramos los puntos que están relacionados entre sí y los pegáramos en un único punto (su clase de equivalencia). Si esto lo hacemos para subconjuntos de espacios euclídeos, con la topología usual, entonces la topología cociente se obtiene, efectivamente, de "pegar". Como ejemplo tenemos el siguiente, el cual podemos resumirlo diciendo: "el cono se puede obtener como conjunto cociente del cilindro".

Lo que se va a hacer es tomar un (único) círculo del cilindro y pegarlo (reducirlo) en un único punto. El espacio que queda es como si al cilindro le estrujáramos por el centro con la mano, convirtiendo el correspondiente círculo en un punto. Es natural pensar que el espacio que queda es homeomorfo al cono.

Tomamos el cilindro $X$ de ecuación $x^2+y^2=1$ y el cono $Y$ de ecuación $z^2=x^2+y^2$. En $X$ se define la relación de equivalencia R dada por dos puntos $(x,y,z)$, $(a,b,c)$ están relacionados si son iguales o $z=c=0$, es decir, si ambos puntos pertenecen al círculo de X a altura 0.

Consideramos el conjunto cociente $X/R$. Establecemos la siguiente aplicación $f:X\rightarrow Y$ mediante $f(x,y,z)=(zx,zy,z)$. Esta aplicación me lleva cada círculo del cilindro $X$ en el círculo del cono $Y$ a la misma altura. Observemos que el círculo de altura $0$ lo lleva al punto $(0,0,0)$ del cono.

Si denotamos por $R_f$ la relación de equivalencia determinada por $f$, es decir, $(x,y,z) R_f (a,b,c)$ si $f(x,y,z)=f(a,b,c)$, es fácil observar que la relación $R_f$ es la relación $R$. Como la aplicación es sobreyectiva, entonces f induce una aplicación biyectiva $f:X/R\rightarrow Y$.

La aplicación $F$ es un homeomorfismo. Por tanto, el cono se obtiene como espacio cociente del cilindro para una determinada relación de equivalencia.

Topología cociente - topología final

Sea (X,T) un espacio topológico y f:(X,T)\rightarrow Y una aplicación. Definimos la siguiente topología T_f en Y.

T_f=\{O'\subset Y;f^{-1}(O')\in T\}.

Esta topología se llama topología final en Y determinada por (X,T) y f. Esta topología tiene las siguientes propiedades (¡ejercicio!):

1. La aplicación f:(X,T)\rightarrow (Y,T_f) es continua.
2. La topología T_f es la topología más fina en Y que hace continua a f. Esto significa lo siguiente: sea T' otra topología en Y que satisface que la aplicación f:(X,T)\rightarrow (Y,T') es continua. Entonces T'\subset T_f.
3. Sea una aplicación g:(Y,T_f)\rightarrow (Z,T''). Entonces g es continua si y sólamente si g\circ f es continua.
   

Observemos que si la aplicación no es sobreyectiva, entonces la topología final induce en Y-f(X) la topología discreta.

Dada una relación de equivalencia R en un espacio topológico (X,T), la topología cociente es la topología final en el conjunto cociente X/R determinada por (X,T) y la aplicación proyección p:X\rightarrow X/R.

Topología cociente - topología producto

La topología cociente es, en cierto sentido, dual de la topología producto. En Topología, la topología cociente es un ejemplo de topología final, y la topología producto, un ejemplo de topología inicial. Veamos esas propiedades duales.

1. Sean espacios topológicos (X,T) e (Y,T') y el espacio topológico producto (XxY,TxT').

• Las aplicaciones proyecciones son continuas: p:(X\times Y,T\times T')\rightarrow (X,T) y p':(X\times Y)\rightarrow (Y,T').
• La topología TxT' es la topología menos fina en XxY que hace continuas a las aplicaciones proyecciones.
• Una aplicación f:(Z,T'')\rightarrow (X\times Y,T\times T') es continua si y sólamente sip\circ f y p'\circ f son continuas.

2. Sea un espacio topológico (X,T) y R una relación de equivalencia en X.

• La aplicación proyección p:(X,T)\rightarrow (X/R,T/R) es continua.
• La topología T/R es la topología más fina en X/R que hace continua a la proyección.
• Una aplicación f:(X/R)\rightarrow (Z,T') es continua si y sólamente si f\circ p es continua.