Más sobre la botella de Klein

La profesora Marta Macho me ha enviado un mensaje donde me informa de un enlace de Cliff Stoll (http://www.kleinbottle.com/) donde se ve cómo al cortar la botella de Klein de cierta forma, se obtiene 2 bandas de Möbius. Lo podéis ver aquí

http://www.kleinbottle.com/sliced_klein_bottles.htm

No he podido subir al blog el vídeo que grabó Antonio José sobre qué queda al quitar una banda de Möbius de un plano proyectivo y de una botella de Klein. No es muy bueno ya que no se percibe las flechas que hizo Ana Isabel en los papeles que se trajo. Si os gusta como recuerdo,os lo envío bajo petición.

La Alhambra y la botella de Klein

Sigo con la misma idea que la entrada anterior. Si queremos cubrir una pared (un plano) mediante una loseta (una baldosa) que vamos repitiéndola por medio de dos traslaciones linealmente independientes, hay 17 formas de hacerlo. Cada baldosa se construye con un motivo (pieza generatriz) a la que se le aplica movimientos rígidos del plano, hasta construir la baldosa. Si la pieza generatriz no tiene ninguna simetría (el caso más simple de grupo cristalográfico), entonces podemos ver nuestro mosaico como el conjunto cociente del plano R^2 mediante el grupo de dos traslaciones linealmente independientes. Dicho cociente es un toro.

Sin embargo, si la pieza generatriz tiene simetrías, los conjuntos cocientes puedes ser de varias formas. El grupo de simetría que tiene la figura es lo se llama grupo cristalográfico. En el primer ejemplo, este grupo es la identidad (después se le aplica el grupo de traslaciones en dos direcciones no proporcionales).

En la entrada anterior, se vio un ejemplo de mosaico cuyo cociente es la banda de Möbius. Hay otros mosaicos, cuyos cocientes son planos proyectivos, y botellas de Klein. El grupo cristalográfico de éste último se llama pg. Ver más información aquí.

En la Puerta del vino, en la Alhambra, hay un ejemplo de este mosaico, aunque algo deteriorado. Pongo un dibujo.

Quitando cilindros

Hemos visto hoy en clase que si quitamos un determinado cilindro a una botella de Klein queda dos bandas de Möbius.

Esto lo podemos hacer para otras superficies, como son una esfera, toro (superficies sin borde) y un cilindro (superficie con borde).

Una esfera menos un cilindro son 2 discos.

Un toro menos un cilindro es 1 cilindro.

Un cilindro menos un cilindro son 2 cilindros.

Recortando banda de Möbius

Tomamos una botella de Klein, como el conjunto cociente de un cuadrado. Quitamos una banda de Möbius. ¿qué tipo de superficie queda? Lo vemos en la siguiente figura, como un proceso de recortes y acciones de pegado.

La respuesta es: ¡otra banda de Möbius!. Más sobre la botella de Klein la podéis encontrar en http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Klein2.html. También la podéis "tocar" aquí.

Tomamos ahora un plano proyectivo y como antes, quitamos una banda de Möbius. ¿qué queda ahora? Con un proceso parecido al de antes tenemos:

¡un disco! o una esfera a la que se le ha quitado un disco.

En la página web http://www.mathcurve.com/surfaces/planprojectif/planprojectif.shtml podéis ver diferentes representaciones del plano proyectivo, y en cada una de ellas, podéis manipularla. Por ejemplo, aquí.

De cualquier forma, existen numerosos vídeo en youtube.com sobre la botella de Klein y el plano proyectivo.

Espacios cocientes y embebimientos

Hemos definido varios conjuntos cocientes definiendo ciertas relaciones de equivalencia en un cuadrado X. Por ejemplo, hemos "definido" bandas de möbius, toros, cilindros, planos proyectivos, etc. Sin embargo, estos nombres ya han aparecido anteriormente.

Por ejemplo, un toro. Hemos definido un toro T como la superficie de un donuts. En el tema 3 vimos que T era homeomorfo al producto de dos círculos S^1 x S^1. Por tanto, cuando escribimos el conjunto cociente

¿Qué quiere decir que este conjunto X/R es un toro T?

Quiere decir que dicho conjunto cociente es homeomorfo al toro del espacio euclídeo, es decir, existe un embebimiento f:X/R\rightarrow R^3 tal que f(X/R)=T. Concretamente, ese embebimiento es el que aparece en la siguiente sucesión de figuras.

Cuando decimos que la botella de Klein no se puede embeber en el espacio quiere decir que no hay un embebimiento f del correspondiente conjunto cociente X/R en R^3. Las figuras que podéis ver en internet no son homeomorfas a la botella de Klein. Por ejemplo, en la entrada de ayer hay dos enlaces adecuados para ello.

La propiedad de embebimiento falla en el momento que la figura que aparece se autointerseca, pues entonces la aplicación f deja de ser inyectiva.

Hay que hacer dos observaciones. La primera es que lo mismo que le sucede a la botella de Klein pasa con el plano proyectivo. La segunda es que ambos espacios sí se pueden embeber en R^4.

La botella sin interior ni exterior

La botella de Klein, además de ser una pieza decorativa bastante bonita es a su vez un fenómeno matemático asombroso. Su concepto está fuertemente relacionado a la tira de Möbius y es ni más ni menos que una superficie no orientable que no tiene exterior ni interior.

Gracias a la ayuda de computadoras y los avances en la producción del vidrio hoy en día se pueden tener modelos “reales” muy similares de dicha superficie, pudiendo ser utilizadas justamente como botellas comunes y silvestres, la diferencia es que el contenido con el que la carguemos estará técnicamente en el interior y el exterior del botella al mismo tiempo.

Las botellas de Klein no se pueden construir en el espacio tridimensional sin que se produzca una intersección. La figura muestra una de tales superficies que se autointersectan.

Un video donde se vé como se forma una botella de Klein es en:

http://www.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc&feature=player_embedded

También se puede jugar con la botella de Klein utilizando el ratón en:

http://www.um.es/docencia/plucas/klein.html

(Por Estefanía)