Ejemplos de espacios arco-conexos

1) El conjunto de números reales $\mathbb{R}$ con la topología de los complementos finitos $\tau_{CF}$ es arco-conexo. Si $x,y$ son dos puntos se define una curva $f:[0,1]\rightarrow X$ mediante $f(t)=(1-t)x+ty$. Para probar la continuidad, veamos que la imagen inversa de cerrados es cerrado en $[0,1]$. Los conjuntos cerrados en $\tau_{CF}$ son los conjuntos finitos. Como $f$ es biyectiva, la imagen inversa de un conjunto finito es finito, el cual es también un cerrado en la topología usual de $[0,1]$.

2) El conjunto de números reales $\mathbb{R}$ con la topología a derechas es arco-conexo. Si $x,y$ son dos puntos (p.ej. $x<y$), se define $f(t)= y, \mbox{si\ } t>1/2,\ f(t)=x\mbox{ si\ } t\leq 1/2$. Esta aplicación es continua: hay que probar que O:=f^{-1}([a,\infty)) es abierto en $[0,1]$. Si $y<a$, $O$ es vacío; si $x<a$, $O=(1,2]$, que también es abierto; si $a\leq x$, $O=[0,1]$, que de nuevo es abierto.

Diferentes formas de probar que la esfera es conexa

Recordamos las diferentes maneras de demostrar que una esfera es conexa (y arco-conexa).

1) Sea $p\in \mathbb{S}^n$ y $A=\mathbb{S}^n-\{p\}$. Se sabe que $A$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ (por ejemplo, mediante la proyección estereográfica). Además $A$ es denso en la esfera, es decir, $\overline{A}=\mathbb{S}^n$. Se tiene un resultado que dice que si A es conexo, también lo es su adherencia. Por tanto la esfera es conexa. En este caso particular, no hemos probado que sea arco-conexa, ya que, en general, la adherencia de un conjunto arco-conexo no tiene porqué ser arco-conexa.

2) El círculo $\mathbb{S}^1$ es conexo, pues $\mathbb{S}^1=f(\mathbb{R})$, donde $f(t)=(\cos(t),\sin(t)).$ Como la recta real es conexa y la imagen de un espacio conexo mediante una aplicación continua es conexa, entonces el círculo es conexo. Probamos ahora que $\mathbb{S}^n$ es conexo por inducción sobre $n$. Supongamos cierto hasta n. Para probar que $\mathbb{S}^{n+1}$ es conexa veamos que dos puntos arbitrarios se unen mediante un conexo $A$. Sean $p$ y $q$ dichos puntos y $P$ un hiperplano que contenga a $p,q$ y el origen. Entonces $A=P\cap\mathbb{S}^{n+1}$ es homeomorfo a $\mathbb{S}^n$, luego es conexo (por inducción). Por tanto $A$ es un conexo que contiene a $p$ y $q$. Todo lo anterior es válido para arco-conexión.

3) Veamos que dados p y q en la esfera, existe un conexo (en verdad, un arco), que los une. Supongamos que p y q son vectores ortogonales. Entonces basta elegir $\alpha(t)=\cos(t)p+\sin(t)q$. Es evidente que dicho arco une p y q en los instantes $t=0$ y $t=\pi/2$ y que la imagen del arco se encuentra en la esfera. Si no fueran ortogonales ni antípodas, sea $P=< p,q>$ el plano que determinan y sea $r\in ( p^\bot)\cap P$ con $|r|=1$. En particular, $r\in\mathbb{S}^n$. Entonces $\alpha(t)=\cos(t)p+\sin(t)r$ se encuentra en la esfera, está contenido en P, y por tanto, existe s tal que $\alpha(s)=q$. En el caso de que fueran antípodas, basta tomar cualquier plano que contenga a p y -p=q. Esto prueba que la esfera es arco-conexa, en particular, conexa.

4) El espacio $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ es arco-conexo. Basta darse cuenta de que todo punto se une mediante un segmento con el punto $p=(0,\ldots,0,1)$ o el punto $q=(0,\ldots,0,-1)$ y que p y q se pueden unir mediante un arco. Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}\rightarrow\mathbb{S}^n$ dada por $f(x)=\frac{x}{|x|}$. Es evidente que esta aplicación es continua y que $f(\mathbb{R}^{n+1}-\{0\})=\mathbb{S}^n$. Como la arco-conexión se mantiene por aplicaciones continuas, la esfera es arco-conexa.

Espacio arco-conexo que no es localmente arco-conexo

Un espacio es localmente arco-conexo si todo punto tiene una base de entornos arco-conexos. A igual que pasaba con la propiedad de conexión, existen espacio que son arco-conexos, pero no localmente arco-conexos. En el caso de conexión, el ejemplo era $[0,1]\times [0,1]\cup_n\{[0,1]\times\{1/n\};n\in\mathbb{n}\}.$

El ejemplo para arco-conexión es el siguiente.

Sea $X_1=\{(x,\sin(\frac{1}{x})\};x>0\}$ y $X_2=\{0\}\times [-1,1].$ Se sabe que tanto $X_1$ como $X_2$ son arco-conexos, pero $X_1\cup X_2$ no lo es. Unimos un punto de $X_1$ con otro de $X_2$ mediante un segmento, por ejemplo, $X_3=[(1/\pi,0),(0,-1)].$ En particular, $X_3$ es arco-conexo.

Sea $X=X_1\cup X_2\cup X_3.$ Ver figura. Este espacio es arco-conexo, pues la intersección de $X_3$ con $X_1$ y con $X_2$ no es vacía. Sin embargo, el espacio no es localmente arco-conexo: el punto $(0,0)$ no tiene una base de entornos arco-conexas, ya que, para entornos "suficientemente pequeños", dichos entornos tienen una parte en $X_1$. otra en $X_2$ y ninguna en $X_3$, y por tanto, no son conjuntos arco-conexos.

Arco-conexión y teoría de conjuntos

Nos preguntamos cómo se comporta la propiedad de arco-conexión con las operaciones de teoría de conjuntos. Lo que viene a continuación también es válido para conexión.

1) Si dos conjuntos son arco-conexos, su unión no tiene porqué ser arco-conexos. Por ejemplo, los intervalos $(0,1)$ y $(1,2)$ son arco-conexos, pero su unión no es arco-conexa (no es conexa).

2) Si dos conjuntos son arco-conexos, su intersección no tiene porqué ser arco-conexa. En $\mathbb{R}^2$, consideramos una circunferencia $\mathbb{S}^1$ y $A$ y $B$ las dos semi-circunferencias $A=\mathbb{S}^1\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x\geq 0\}$ y $B=\mathbb{S}^1\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x\leq 0\}$. Entonces $A$ y $B$ son arcoconexos porque son homeomorfos a intervalos. Pero la intersección son dos puntos de $\mathbb{R}^2$, que no es arco-conexo (no es ni conexo).

3) Si un conjunto es arco-conexa, su conjunto complementario no tiene porqué ser arco-conexo. Por ejemplo, en $\mathbb{R}$, un punto es arco-conexo, pero su complementario (que no es intervalo), no es arco-conexo..