Espacio arco-conexo que no es localmente arco-conexo

Un espacio es localmente arco-conexo si todo punto tiene una base de entornos arco-conexos. A igual que pasaba con la propiedad de conexión, existen espacio que son arco-conexos, pero no localmente arco-conexos. En el caso de conexión, el ejemplo era $[0,1]\times [0,1]\cup_n\{[0,1]\times\{1/n\};n\in\mathbb{n}\}.$

El ejemplo para arco-conexión es el siguiente.

Sea $X_1=\{(x,\sin(\frac{1}{x})\};x>0\}$ y $X_2=\{0\}\times [-1,1].$ Se sabe que tanto $X_1$ como $X_2$ son arco-conexos, pero $X_1\cup X_2$ no lo es. Unimos un punto de $X_1$ con otro de $X_2$ mediante un segmento, por ejemplo, $X_3=[(1/\pi,0),(0,-1)].$ En particular, $X_3$ es arco-conexo.

Sea $X=X_1\cup X_2\cup X_3.$ Ver figura. Este espacio es arco-conexo, pues la intersección de $X_3$ con $X_1$ y con $X_2$ no es vacía. Sin embargo, el espacio no es localmente arco-conexo: el punto $(0,0)$ no tiene una base de entornos arco-conexas, ya que, para entornos "suficientemente pequeños", dichos entornos tienen una parte en $X_1$. otra en $X_2$ y ninguna en $X_3$, y por tanto, no son conjuntos arco-conexos.