Arco-conexión y teoría de conjuntos

Nos preguntamos cómo se comporta la propiedad de arco-conexión con las operaciones de teoría de conjuntos. Lo que viene a continuación también es válido para conexión.

1) Si dos conjuntos son arco-conexos, su unión no tiene porqué ser arco-conexos. Por ejemplo, los intervalos $(0,1)$ y $(1,2)$ son arco-conexos, pero su unión no es arco-conexa (no es conexa).

2) Si dos conjuntos son arco-conexos, su intersección no tiene porqué ser arco-conexa. En $\mathbb{R}^2$, consideramos una circunferencia $\mathbb{S}^1$ y $A$ y $B$ las dos semi-circunferencias $A=\mathbb{S}^1\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x\geq 0\}$ y $B=\mathbb{S}^1\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x\leq 0\}$. Entonces $A$ y $B$ son arcoconexos porque son homeomorfos a intervalos. Pero la intersección son dos puntos de $\mathbb{R}^2$, que no es arco-conexo (no es ni conexo).

3) Si un conjunto es arco-conexa, su conjunto complementario no tiene porqué ser arco-conexo. Por ejemplo, en $\mathbb{R}$, un punto es arco-conexo, pero su complementario (que no es intervalo), no es arco-conexo..