Ejemplos de espacios arco-conexos

1) El conjunto de números reales $\mathbb{R}$ con la topología de los complementos finitos $\tau_{CF}$ es arco-conexo. Si $x,y$ son dos puntos se define una curva $f:[0,1]\rightarrow X$ mediante $f(t)=(1-t)x+ty$. Para probar la continuidad, veamos que la imagen inversa de cerrados es cerrado en $[0,1]$. Los conjuntos cerrados en $\tau_{CF}$ son los conjuntos finitos. Como $f$ es biyectiva, la imagen inversa de un conjunto finito es finito, el cual es también un cerrado en la topología usual de $[0,1]$.

2) El conjunto de números reales $\mathbb{R}$ con la topología a derechas es arco-conexo. Si $x,y$ son dos puntos (p.ej. $x<y$), se define $f(t)= y, \mbox{si\ } t>1/2,\ f(t)=x\mbox{ si\ } t\leq 1/2$. Esta aplicación es continua: hay que probar que O:=f^{-1}([a,\infty)) es abierto en $[0,1]$. Si $y<a$, $O$ es vacío; si $x<a$, $O=(1,2]$, que también es abierto; si $a\leq x$, $O=[0,1]$, que de nuevo es abierto.