El concepto de convergencia de sucesiones es topológico

Consideramos en el conjunto de los números reales R la sucesión

.

1. Con la topología usual esta sucesión converge a 0.

2. Con la topología de Sorgenfrey esta sucesión NO converge a 0: tomando como entorno de 0 el intervalo $U=[0,1)$, la sucesión no cae dentro de U a partir de algún lugar.

3. Con la topología a derechas, la sucesión NO es convergente a 0: de forma parecida a antes, se toma U=[0,infinito).

4. Con la topología de los complementos finitos, la sucesión converge a cualquier número, por ejemplo, a 80: sea U=R-F un entorno cualquiera de 80, donde F es un conjunto finito de puntos (y 80 pertenece a U). Es evidente que a partir de un cierto lugar, toda la sucesión cae dentro de U (observad que R-F es todo R salvo un conjunto finito de puntos).
En este caso, hay infinitos límites.

5. Con la topología del punto incluido, con $p=0$, la sucesión es NO convergente: un entorno de 0 es . Es evidente que la sucesión no cae dentro de U. Es más, la única sucesión convergente a $0$ es la que es constantemente 0 a partir de un cierto lugar.

6. Con la topología del punto excluido, con p=0, la sucesión es convergente a $0$: el único entorno de $0$ es R.