Las bolas no son homeomorfas entre ellas

En un espacio métrico $(X,d)$ las bolas no son homeomorfas entre ellas, aún teniendo el mismo centro. Esto choca con la idea intuitiva que tenemos de las bolas del plano $\mathbb{R}^2$ (con la distancia usual): las bolas son redondas, redondas de toda la vida.
Ejemplos son los siguientes:

1) Tomamos el subconjunto de $\mathbb{R}$ dado por $X=\{0\}\cup [1,2]$ con la distancia usual. La bola B_1(0)=\{0\} tiene sólo un elemento y la bola $B_2(0)=\{0\}\cup[1,2)$ tiene infinitos. Por tanto no es que no sean homeomorfos, es que ni son biyectivos.

2) En $\mathbb{R}$ tomamos la distancia discreta. Entonces $B_{1}(0)=\{0\}$ y $B_2(0)=\mathbb{R}$. De nuevo no son homeomorfos.

Cuando se ha probado que las bolas de $\mathbb{R}^2$ son homeomorfas entre ellas, se ha encontrado explícitamente un homeomorfismo entre una y otra de la forma $f(x)= r x+p$, con $r > 0$ y $p$ un vector de $\mathbb{R}^2$. Para definir este homeomorfismo, es fundamental la estructura afín del plano euclídeo (para poder sumar puntos y multiplicar por escalares, y no salirse del espacio). Por ejemplo, con la aplicación $f$ anterior no se puede escribir $f:X\rightarrow X$ con $X=\{0\}\cup [1,2]$.