No todo vale en topología

En el curso se han dado varias bases de topologías en el plano R^2. Algunos ejemplos son:
beta: las bolas; beta_1: las rayas verticales; beta_2: las rayas horizontales; beta_3: las rayas oblícuas a 45 grados; beta_4: las bandas horizontales; beta_5: las bandas verticales, y así sucesivamente.

Parece ser que uno puede coger cualquier "tipo" de conjunto, y probar que es una base. Pues no. No todo vale en topología.

Una familia que sí es base es el conjunto de los hexágonos de R^2: por "hexágono" nos referimos la parte de dentro de un hexágono, y los hexágonos son tomados de todos los tamaños y colocados a lo largo del plano. Es más, la topología que genera es la topología usual (eso ya se ha visto en la anterior entrada del blog, tomando como manchurrón M un hexágono concreto).

Una familia de subconjuntos del plano que no forman una base es la familia de cuadrados: por "cuadrado" nos referimos a un cuadrado como polígono (sólo los lados). Por un lado, es evidente que la primera propiedad de base se satisface, ya que la unión de todos los cuadrados es todo el plano. Sin embargo, no es cierta la segunda propiedad. Tomamos dos cuadrados y lo intersecamos. La intersección es un número finito de puntos (uno o dos). Entonces dado un punto de la intersección (uno de esos puntos) no es posible hallar un cuadrado entre el punto y la intersección.

Otro ejemplo de familia que no es base es la familia de todos las cruces: por una "cruz" entendemos la unión de una recta vertical y de otra horizontal. Un razonamiento análogo al anterior prueba que no es base para ninguna topología.