La continuidad es un concepto topológico

La noción de función continua que se da en primer curso de carrera hace intervenir la distancia usual de la recta real: d(x,y)=x-y. Sin embargo y como se ha puesto de manifiesto al comienzo del tema 2, el concepto de continuidad es topológico al poder expresarse en términos de entornos de un punto. Mostramos esto con dos ejemplos.

El plano R^2 tiene tres distancias equivalentes, es decir, las topologías determinadas por ellas (las que tienen por base las bolas) coinciden. Estas distancias son:

Si escribimos en términos de epsilons y deltas la definición de continuidad en un punto, aparecerían tres expresiones "diferentes" ya que habría que hacer intervenir las distancias anteriores. Sin embargo sabemos que las "definiciones" son equivalentes, es decir, una función es continua para una distancia si y sólamente es continua para cualquiera de las otras dos.

El segundo ejemplo dice que, fijando el conjunto, pero cambiando la topología, una función puede ser continua para una topología y no para la otra. Como ejemplo tenemos el siguiente. Sea dada por f(x,y)=x^2+y^2. En R consideramos la topología usual. En R^2 consideramos la topología usual T_1 y la topología de los complementos finitos T_CF. Entonces es continua, ya que es una función polinómica (esto es conocido del Cálculo). Sin embargo no es continua porque: es un cerrado de R y el conjunto no es cerrado en la topología de los complementos finitos ya que no es finito (dicho conjunto es una circunferencia).