Sea $(X,T)$ un espacio topológico que no satisface una propiedad topológica (P1). Todo espacio homeomorfo a $(X,T)$ no satisface tampoco (P1). Si $(Y,T')$ no satisface (P1) podría ser o no ser homeomorfo. Tener un gran número de propiedades topológicas nos permite distinguir dos espacios topológicos.
Sea $X$ un conjunto (infinito) y denotamos por Tcf la topología de los complementos finitos y por Tt la topología trivial. Los espacios topológicos $(X,Tcf)$ y $(X,Tt)$ no satisfacen la propiedad (P1) de "separar puntos por entornos disjuntos".
Consideramos la propiedad (P2) siguiente: "los entornos de cada punto son conjuntos finitos". Es evidente que dicha propiedad es topológica. De nuevo, los espacios $(X,Tcf)$ y $(X,Tt)$ no satisfacen ambos la propiedad (P2): para $(X,Tt)$ es evidente pues $X$ es el único entorno de cada punto y cada entorno en la topología Tcf, debe contener un abierto que es de la forma $X-F$, con $F$ un conjunto finito.
Definamos la siguiente propiedad topológica (P3): un espacio topológico $(X,T)$ satisface (P3) si dados dos puntos distintos existe, para alguno de dichos puntos, un entorno que no contiene al otro. El espacio $(X,Tcf)$ satisface (P3), pues si $x$ e $y$ son puntos distintos, tomamos $U=X-\{y\}$, que es entorno de $x$ y no contiene a $y$. Sin embargo, $(X,Tt)$ no satisface (P3) porque el único entorno de cada punto es el propio conjunto $X$. Como conclusión, $(X,Tcf)$ y $(X,Tt)$ no son homeomorfos.
(Por Concepción Rodríguez Roca)
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