Sobre la continuidad de una aplicación definida "a trozos".

1. La función

dada por f(x)=1 si y f(x)=-1 si es continua, es decir, es continua en todo punto. Esto se debe a que en cada intervalo y , la aplicación es continua, al ser constante. Como cada uno de los intervalos es un abierto en $X$, entonces $f$ es continua. También se puede probar la continuidad de f punto a punto, usando epsilons y deltas.

2. Sea Q el conjunto de los número racionales e I, el de los irracionales. La aplicación f:R->R definida por $f(x)=0$ si $x\in \mathbb{Q}$ y $f(x)=1$ si $x$ es irracional no es continua (es más, no es continua en ningún punto). Esto se puede probar usando límites laterales. Obsérvese que Q e I no son conjuntos abiertos de R (ni ambos son cerrados).

3. Sea f:R->R una aplicación que no sea continua. Sea A_x={x}, para cada número real x. Es evidente que la restricción de f a A_x es continua (es constante). Por otro lado, la recta real es unión de todos los A_x, y cada uno de estos conjuntos son cerrados. Pero no podemos usar el teorema ya que R no es unión finita de cerrados.

4. Sea $A=\{0,1\}$ y B=R-{0}. Se define la aplicación f:R->R mediante $f(x)=x$ si $x\in A$ y $f(x)=1$ si $x\in B$. La restricción de $f$ en $A$ es continua pues es la restricción de la identidad. La restricción de $f$ a $B$ es continua, al ser constante. Sin embargo $f$ no es continua en x=0 (tomando límites laterales). Obsérvese que ni $A$ y $B$ son abiertos de R, y ni $A$ ni $B$ son cerrados de R.