Cómo usar la nota de los exámenes de cada tema

En esta entrada pido sugerencias de cómo usar la nota obtenida en los exámenes que se van haciendo de cada tema para la nota del primer cuatrimestre. Os recuerdo que hay un examen del primer cuatrimestre el 28 de enero. Para esa fecha se habrán realizado cuatro exámenes de cada tema. La cuestión es cómo tiene que influir la nota de éstos en la nota del examen del cuatrimestre.

En general, hay que recompensar (con nota) el esfuerzo realizado. Un ejemplo son aquellos alumnos que van aprobando casi todos los exámenes. Pero también para los alumnos que van suspendiendo casi todos los exámenes, a los cuales habría que enviar un mensaje de que, a pesar de todo, ha merecido la pena.

Pongo dos ejemplos de sugerencia sin ánimo de influir. Sea NT la media de los cuatro exámenes.

1. Si NT es 6, ese alumno no hace el examen cuatrimestral y tiene esa nota para dicho examen (siempre podría subir nota).
2. Si NT es 3. Entonces en la nota del cuatrimestre se le suma el 50% de NT, es decir, 1.5.

Ruego que las sugerencias aparezcan en el blog, para que todos opinen y sepan qué opinan los demás.

Topología producto y separación

En esta entrada se trata de estudiar qué ocurre si tenemos dos espacios topológicos $(X,T)$, $(Y,T')$ que cumplen una determinada propiedad de separación ¿se conserva esa propiedad en la topología producto? Veremos dos casos:

1. Separación de puntos por entornos disjuntos (propiedad $T_2$). Un espacio satisface la propiedad $T_2$ si para cada dos puntos distintos existen entornos para cada punto y disjuntos entre sí. Esta propiedad se conserva en la topología producto, es decir, si $(X,T)$ e $(Y,T')$ satisfacen la propiedad $T_2$, entonces el espacio producto $(X\times Y,T\times T')$ satisface también dicha propiedad. Para ello, sean $(x,y)$ e $(x',y')$ dos puntos distintos de $X\times Y$. Entonces $x\not= x'$ o $y\not=y'$. Supongamos, por ejemplo, el primer caso. Entonces, por hipótesis, existen entornos $U$ y $V$ de $x$ y $x'$ respectivamente tal que $U\cap V=\emptyset$. Entonces $U\times Y$ y $V\times Y$ son entornos de $(x,y)$ y $(x',y')$ respectivamente tal que $(U\times Y)\cap (V\times Y)=\emptyset$.

Pregunta. ¿es cierto el recíproco? es decir, supongamos que XxY, con la topología producto satisface la propiedad $T_2$; entonces ¿$(X,T)$ e $(Y,T)$? satisfacen ambos la propiedad T_2?

2. Propiedad $T_1$. Un espacio satisface la propiedad $T_1$ si para cada dos puntos distintos $x$ y $x'$ existe un entorno $U$ de $x$ tal que $x'$ no pertenece a U, o existe un entorno V de $x'$ tal que $x$ no pertence a $V$. Esta propiedad se conserva en la topología producto, es decir, si $(X,T)$ e $(Y,T')$ satisfacen la propiedad T_1, entonces el espacio producto $(X\times Y,T\times T')$ satisface también dicha propiedad. Para ello, sean $(x,y)$ e $(x',y')$ dos puntos distintos de $X\times Y$. Entonces $x\not= x'$ o $y\not=y'$. Supongamos, por ejemplo, el primer caso. Entonces, por hipótesis, o existe un entorno $U$ de $x$ tal que $x'\not\in U$ o existe un entorno $V$ de $x'$ tal que $x\not\in V$. Entonces el entorno $U\times Y$ de $(x,y)$ o el entorno $V\times Y$ de $(x',y')$ satisface la propiedad que estamos buscando para los pares $(x,y)$ y $(x',y')$.

(por Isabel Moreno)

Nuevos enlaces en el blog

En el blog hay algunas novedades, que se concretan en más enlaces.

"Libros y material docente en la red". Aquí se encuentra apuntes de topología realizado por otros profesores. Hay que pasar un rato hojeando dichas páginas para encontrar lo que uno quiere. Es cuestión de dedicarle un tiempo. La mayor parte de los documentos están en formato pdf y pueden imprimirse fácilmente.

"Enlaces interesantes". Son páginas para conocer algo más sobre topología, ampliar conocimientos y curiosidades.

"Mi lista de blogs": sólo hay un blog, gaussianos. Es una página para aquéllos muy enchufados con las matemáticas y quieran dedicarse el tiempo a romperse la cabeza. Cuando se plantea un problema, es muy interesante los comentarios de las personas que intentan resolverlos.

Topología producto y límites direcciones

Se sabe estudiar la continuidad de una aplicación que llega a un espacio producto: es continua si y sólo si al componer con las correspondientes proyecciones, tenemos sendas aplicaciones continuas.

¿Qué decir de la continuidad de una aplicación cuyo dominio es un espacio producto? Se puede definir los límites direccionales. Sea $f:X\times Y\rightarrow Z$ una aplicación. Para cada $x\in X$ se define $f_x:Y\rightarrow Z$ como $f_x(y)=f(x,y)$. De la misma forma se definen aplicaciones $f^y:X\rightarrow Z$ para cada $y\in Y$. Es evidente que si $f$ es continua, entonces las aplicaciones $f_x$ y $f^y$ son continuas: por ejemplo, $f_x=i_x\circ f$ donde $i_x:Y\rightarrow Z, \ i_x(y)=(x,y)$. La aplicación $i_x$ es continua y $f_x$ es continua por ser composición de aplicaciones continuas.

Por tanto, "una condición necesaria para que $f$ sea continua es que las aplicaciones $f_x$ y $f^y$ sean continuas, para cada $x$ e $y$".

Sin embargo no es suficiente. Por ejemplo, la aplicación $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ con las topologías usuales y dada por $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y)$ no es $(0,0)$ y $f(0,0)=0$ no es continua en $(0,0)$. Sin embargo las aplicaciones $f_x$ y $f^y$ son continuas.

Concluimos pues que el estudio de la continuidad de una aplicación con dominio en un espacio producto se trata de una forma totalmente diferente a si estuviera el producto en el codominio de la aplicación.

Topología producto y topología del punto excluido

Consideramos R con la topología T del punto excluido para el punto p=0. ¿Cuál es la relación entre la topología $T\times T$ y la topología T' del punto excluido de R^2 para el punto $q=(0,0)$.

Sea $O\times G$ un abierto de TxT y sea $(x,y)\in O\times G$. Vamos a encontrar un abierto $A$ de $T'$ tal que $(x,y)\in A\subset O\times G$. Esto probaría que $T\times T$ está incluida en T' (es menos fina). Caben varias posibilidades:

1. Ni x ni y son p=0. Entonces tomamos $A=\{(x,y)\}$, el cual pertenece a T'.
2. Caso $(x,0)$, y $x\not=0$. Entonces $G=\mathbb{R}$. En tal caso tomamos $A=\{x\}\times R$. El caso (0,x) es análogo.
3. Caso $(0,0)$. Entonces debe ser $O=G=\mathbb{R}$. Sea $A=\mathbb{R}^2.

La inclusión $T'\subset T\times T$ no es cierta: el conjunto $A=\{(1,0\}$ pertenece a T', pero no hay ningún abierto del tipo $O\times G$ de $T\times T$ tal que $(1,0)\in O\times G\subset A$.

Se puede hacer un razonamiento para todo lo anterior, pero usando bases de entornos.

Proyecto de Innovación Docente

Os quiero comunicar que este blog es ahora un "Proyecto de Innovación Docente" dentro del Plan de Calidad de la UGR. En dicho Plan aparece: "...la Universidad de Granada continúa su política de apoyo a las iniciativas que, en materia docente, se realizan en el ámbito de la innovación. El objetivo primordial es la mejora de la docencia en nuestra Universidad, con el compromiso de conseguir los niveles de calidad y excelencia necesarios para una adecuada formación y capacitación de los estudiantes".

He escrito literalmente este parrafo para indicar qué se espera del blog. Por ello la idea del mismo va a cambiar en algunos aspectos. El primero, e importante para el alumno, es que la participación en el blog se va a valorar bastante más, tanto en comentarios como en entradas.

También se va a ofrecer la posibilidad de trabajar en el diseño, en los contenidos del blog, y en futuros desarrollos. Un problema en la publicación en un blog de matemáticas es cómo hacer para que aparezcan los símbolos matemáticos. Por ello se va a ofrecer un curso rápido y breve en LaTeX (editor de textos), justo para lo que necesitamos. Este curso va a ser muy útil en el futuro de un licenciado de matemáticas.

Al final del curso habrá que hacer una evaluación del blog, conclusiones y resultados. Probablemente salga todo ello en algún tipo de publicación. Pienso que la colaboración vuestra en el mismo podrá ser de gran utilidad en vuestra formación como matemático.

¡ FELIZ NAVIDAD !

Deseo a todos los alumnos de la asignatura (y otros visitantes) una Feliz Navidad y un feliz año 2009. Que comáis mantecados, munchos masapanes (de Montoro), que bebáis, os divirtáis y, sobre todo, que descanséis.

También os animo a que participéis en el blog =) y que estudiéis un poquito, al menos para el exámen ;)

Topología producto: conjuntos cerrados

En la topología producto, el producto de cerrados es un conjunto cerrado, pero no todos los conjuntos cerrados son producto de cerrados. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ con la topología producto de la usual (de nuevo la usual), el conjunto $F=\{(x,x);x\in \mathbb{R}\}$ es un conjunto cerrado pues $F=f^{-1}(0)$, $f(x,y)=y-x$. Sin embargo $F$ no es producto de dos cerrados de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ con la topología usual .

Lo mismo sucede con el conjunto $F=\{(x,1/x);x\in R-\{0\}\}$, pues $F=f^{-1}(\{0\})$ y $f(x,y)=xy-1$. Por otro lado, si p(x,y)=x es la primera proyección de $\mathbb{R}^2$ sobre R, entonces $p(F)=R-\{0\}$, lo que prueba que las aplicaciones proyecciones no tienen porqué ser aplicaciones cerradas.

Topología producto: palabras que suenan bien

En la topología producto...

El producto de abiertos es un conjunto abierto, pero no todos los abiertos de la topología producto son producto de abiertos. El producto de cerrados es un conjunto cerrado, pero no todos los conjuntos cerrados son producto de cerrados.

El producto de bases es una base del producto, pero no todas las bases del producto son producto de bases. Dado $(x,y)$, el producto de entornos es un entorno de (x,y), pero no todos los entornos de $(x,y)$ son producto de entornos.

En la topología usual de $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ puede verse esto con claridad: el producto IxJ de intervalos abiertos es un conjunto abierto (un rectángulo relleno sin su borde). Sin embargo, una bola abierta es un conjunto abierto, pero no es el producto cartesiano de abiertos de R.

Con las topologías conocidas, uno se puede preguntar si las palabras suenan bien. Por ejemplo ¿el producto de las topologías discretas es la topología discreta en el producto cartesiano? ¿el producto de las topologías triviales es la topología trivial en el producto cartesiano? ¿el producto de las topologías de los complementos finitos es la topología de los complementos finitos en el producto cartesiano? ¿el producto de las topologías del punto incluido es la topología del punto incluido en el producto cartesiano?

Transformación de abiertos por una aplicación continua

Recordemos que una aplicación entre dos espacios topológicos es continua si la imagen inversa de todo abierto es abierto. Por otro lado, ¿qué podemos decir de la imagen de un abierto mediante una aplicación continua? es decir, si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y\tau')$ es una aplicación continua y $O$ un abierto de $X$ ¿$f(O)$ es abierto en $Y$? En general, la respuesta es no: tomemos la aplicación constante $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=0$. La imagen de un intervalo abierto $(a,b)$ es $\{0\}$ que no es abierto en R.

Tampoco podemos decir que si O' es un abierto de Y y f(O)=O' entonces O es un abierto de $X$: sea $g:X=R\rightarrow Y=\{0\}$ la aplicación constante. Entonces $O'=\{0\}$ es abierto en $Y$, $g(\{1\})=O'$, pero $\{1\}$ no es abierto en $X$.

Supongamos ahora que f es, además, una aplicación biyectiva. Si $O'$ es un abierto de $Y$, llamamos $O=f^{-1}(O')$. Ya que $f$ es continua, O es un abierto de $X$. Además, la imagen de $O$, $f(O)$, coincide con $O'$ (por ser $f$ biyectiva). Por tanto, para este abierto $O$ su imagen sí es abierto en $Y$. Sin embargo, no todos los abiertos de $X$ son imágenes inversas de abiertos de $Y$ (incluso si $f$ es biyectiva). Veámoslo en el siguiente ejemplo.

Consideramos en R la topología usual Tu y la topología trivial Tt. Sea la aplicación identidad h:(R,Tu)\rightarrow (R,Tt) , $h(x)=x$. La aplicación es continua ya que llega al espacio trivial y es, además, biyectiva. Sin embargo la imagen de un abierto no es abierto: $(0,1)$ es abierto en (R,Tu) y su imagen $h((0,1))=(0,1)$ no es abierto de $(\mathbb{R},Tt)$.

Otro ejemplo es el mismo que el anterior pero cambiando Tt por la topología de los complementos finitos Tcf (h es continua porque la imagen de un cerrado es cerrado). De nuevo $h((a,b))=(a,b)$ no pertenece a Tcf. (por Ágata A. Timón)