Recordemos que una aplicación entre dos espacios topológicos es continua si la imagen inversa de todo abierto es abierto. Por otro lado, ¿qué podemos decir de la imagen de un abierto mediante una aplicación continua? es decir, si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y\tau')$ es una aplicación continua y $O$ un abierto de $X$ ¿$f(O)$ es abierto en $Y$? En general, la respuesta es no: tomemos la aplicación constante $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=0$. La imagen de un intervalo abierto $(a,b)$ es $\{0\}$ que no es abierto en R.
Tampoco podemos decir que si O' es un abierto de Y y f(O)=O' entonces O es un abierto de $X$: sea $g:X=R\rightarrow Y=\{0\}$ la aplicación constante. Entonces $O'=\{0\}$ es abierto en $Y$, $g(\{1\})=O'$, pero $\{1\}$ no es abierto en $X$.
Supongamos ahora que f es, además, una aplicación biyectiva. Si $O'$ es un abierto de $Y$, llamamos $O=f^{-1}(O')$. Ya que $f$ es continua, O es un abierto de $X$. Además, la imagen de $O$, $f(O)$, coincide con $O'$ (por ser $f$ biyectiva). Por tanto, para este abierto $O$ su imagen sí es abierto en $Y$. Sin embargo, no todos los abiertos de $X$ son imágenes inversas de abiertos de $Y$ (incluso si $f$ es biyectiva). Veámoslo en el siguiente ejemplo.
Consideramos en R la topología usual Tu y la topología trivial Tt. Sea la aplicación identidad
h:(R,Tu)\rightarrow (R,Tt) , $h(x)=x$. La aplicación es continua ya que llega al espacio trivial y es, además, biyectiva. Sin embargo la imagen de un abierto no es abierto: $(0,1)$ es abierto en (R,Tu) y su imagen $h((0,1))=(0,1)$ no es abierto de $(\mathbb{R},Tt)$.Otro ejemplo es el mismo que el anterior pero cambiando Tt por la topología de los complementos finitos Tcf (h es continua porque la imagen de un cerrado es cerrado). De nuevo $h((a,b))=(a,b)$ no pertenece a Tcf. (por Ágata A. Timón)
Es curioso, porque siempre se nos presentan las aplicaciones biyectivas como aquellas que son muy buenas y sin embargo en nuestro caso no lo son del todo. La verdad no había caido en el hecho de que si una aplicación es biyectiva, no tiene que ser continua. Ha sido interesante ver que no lo es.
ResponderEliminarLas aplicaciones biyectivas son las buenas en teoría de conjuntos (respeta inclusiones, intersecciones, complementarios, uniones, etc). Pero si estás en Topología (lo mismo en grupos, espacios vectoriales, etc), es normal que se necesite algo más. En nuestro caso, que la aplicación sea continua, y lo mismo con su inversa.
ResponderEliminarLa aplicación identidad entre un conjunto con la topología discreta y la trivial es biyectiva y continua, pero su inversa no es continua. Por tanto, un homeomorfismo (biyectiva + bi-continua) sí es buena: lleva abiertos en abiertos, cerrados en cerrados, etc.