Topología producto y separación

En esta entrada se trata de estudiar qué ocurre si tenemos dos espacios topológicos $(X,T)$, $(Y,T')$ que cumplen una determinada propiedad de separación ¿se conserva esa propiedad en la topología producto? Veremos dos casos:

1. Separación de puntos por entornos disjuntos (propiedad $T_2$). Un espacio satisface la propiedad $T_2$ si para cada dos puntos distintos existen entornos para cada punto y disjuntos entre sí. Esta propiedad se conserva en la topología producto, es decir, si $(X,T)$ e $(Y,T')$ satisfacen la propiedad $T_2$, entonces el espacio producto $(X\times Y,T\times T')$ satisface también dicha propiedad. Para ello, sean $(x,y)$ e $(x',y')$ dos puntos distintos de $X\times Y$. Entonces $x\not= x'$ o $y\not=y'$. Supongamos, por ejemplo, el primer caso. Entonces, por hipótesis, existen entornos $U$ y $V$ de $x$ y $x'$ respectivamente tal que $U\cap V=\emptyset$. Entonces $U\times Y$ y $V\times Y$ son entornos de $(x,y)$ y $(x',y')$ respectivamente tal que $(U\times Y)\cap (V\times Y)=\emptyset$.

Pregunta. ¿es cierto el recíproco? es decir, supongamos que XxY, con la topología producto satisface la propiedad $T_2$; entonces ¿$(X,T)$ e $(Y,T)$? satisfacen ambos la propiedad T_2?

2. Propiedad $T_1$. Un espacio satisface la propiedad $T_1$ si para cada dos puntos distintos $x$ y $x'$ existe un entorno $U$ de $x$ tal que $x'$ no pertenece a U, o existe un entorno V de $x'$ tal que $x$ no pertence a $V$. Esta propiedad se conserva en la topología producto, es decir, si $(X,T)$ e $(Y,T')$ satisfacen la propiedad T_1, entonces el espacio producto $(X\times Y,T\times T')$ satisface también dicha propiedad. Para ello, sean $(x,y)$ e $(x',y')$ dos puntos distintos de $X\times Y$. Entonces $x\not= x'$ o $y\not=y'$. Supongamos, por ejemplo, el primer caso. Entonces, por hipótesis, o existe un entorno $U$ de $x$ tal que $x'\not\in U $ o existe un entorno $V$ de $x'$ tal que $x\not\in V$. Entonces el entorno $U\times Y$ de $(x,y)$ o el entorno $V\times Y$ de $(x',y')$ satisface la propiedad que estamos buscando para los pares $(x,y)$ y $(x',y')$.

(por Isabel Moreno)