miércoles, 10 de diciembre de 2008

Topología producto: palabras que suenan bien

En la topología producto...

El producto de abiertos es un conjunto abierto, pero no todos los abiertos de la topología producto son producto de abiertos. El producto de cerrados es un conjunto cerrado, pero no todos los conjuntos cerrados son producto de cerrados.

El producto de bases es una base del producto, pero no todas las bases del producto son producto de bases. Dado $(x,y)$, el producto de entornos es un entorno de (x,y), pero no todos los entornos de $(x,y)$ son producto de entornos.

En la topología usual de $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ puede verse esto con claridad: el producto IxJ de intervalos abiertos es un conjunto abierto (un rectángulo relleno sin su borde). Sin embargo, una bola abierta es un conjunto abierto, pero no es el producto cartesiano de abiertos de R.

Con las topologías conocidas, uno se puede preguntar si las palabras suenan bien. Por ejemplo ¿el producto de las topologías discretas es la topología discreta en el producto cartesiano? ¿el producto de las topologías triviales es la topología trivial en el producto cartesiano? ¿el producto de las topologías de los complementos finitos es la topología de los complementos finitos en el producto cartesiano? ¿el producto de las topologías del punto incluido es la topología del punto incluido en el producto cartesiano?

3 comentarios:

  1. Dejando ahí la pregunta con intriga... jeje

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  2. Yo por intuición diría que menos en el caso de la topología trivial, los demás productos de topologías dan la misma topología, aunque en la topología de los complementos finitos lo veo mas dudoso...

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  3. como que mi intuición ha fallado bastante... jaja

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