Topología producto y límites direcciones

Se sabe estudiar la continuidad de una aplicación que llega a un espacio producto: es continua si y sólo si al componer con las correspondientes proyecciones, tenemos sendas aplicaciones continuas.

¿Qué decir de la continuidad de una aplicación cuyo dominio es un espacio producto? Se puede definir los límites direccionales. Sea $f:X\times Y\rightarrow Z$ una aplicación. Para cada $x\in X$ se define $f_x:Y\rightarrow Z$ como $f_x(y)=f(x,y)$. De la misma forma se definen aplicaciones $f^y:X\rightarrow Z$ para cada $y\in Y$. Es evidente que si $f$ es continua, entonces las aplicaciones $f_x$ y $f^y$ son continuas: por ejemplo, $f_x=i_x\circ f$ donde $i_x:Y\rightarrow Z, \ i_x(y)=(x,y)$. La aplicación $i_x$ es continua y $f_x$ es continua por ser composición de aplicaciones continuas.

Por tanto, "una condición necesaria para que $f$ sea continua es que las aplicaciones $f_x$ y $f^y$ sean continuas, para cada $x$ e $y$".

Sin embargo no es suficiente. Por ejemplo, la aplicación $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ con las topologías usuales y dada por $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y)$ no es $(0,0)$ y $f(0,0)=0$ no es continua en $(0,0)$. Sin embargo las aplicaciones $f_x$ y $f^y$ son continuas.

Concluimos pues que el estudio de la continuidad de una aplicación con dominio en un espacio producto se trata de una forma totalmente diferente a si estuviera el producto en el codominio de la aplicación.