Topología producto: conjuntos cerrados

En la topología producto, el producto de cerrados es un conjunto cerrado, pero no todos los conjuntos cerrados son producto de cerrados. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ con la topología producto de la usual (de nuevo la usual), el conjunto $F=\{(x,x);x\in \mathbb{R}\}$ es un conjunto cerrado pues $F=f^{-1}(0)$, $f(x,y)=y-x$. Sin embargo $F$ no es producto de dos cerrados de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ con la topología usual .

Lo mismo sucede con el conjunto $F=\{(x,1/x);x\in R-\{0\}\}$, pues $F=f^{-1}(\{0\})$ y $f(x,y)=xy-1$. Por otro lado, si p(x,y)=x es la primera proyección de $\mathbb{R}^2$ sobre R, entonces $p(F)=R-\{0\}$, lo que prueba que las aplicaciones proyecciones no tienen porqué ser aplicaciones cerradas.