Topología producto y topología del punto excluido

Consideramos R con la topología T del punto excluido para el punto p=0. ¿Cuál es la relación entre la topología $T\times T$ y la topología T' del punto excluido de R^2 para el punto $q=(0,0)$.

Sea $O\times G$ un abierto de TxT y sea $(x,y)\in O\times G$. Vamos a encontrar un abierto $A$ de $T'$ tal que $(x,y)\in A\subset O\times G$. Esto probaría que $T\times T$ está incluida en T' (es menos fina). Caben varias posibilidades:

1. Ni x ni y son p=0. Entonces tomamos $A=\{(x,y)\}$, el cual pertenece a T'.
2. Caso $(x,0)$, y $x\not=0$. Entonces $G=\mathbb{R}$. En tal caso tomamos $A=\{x\}\times R$. El caso (0,x) es análogo.
3. Caso $(0,0)$. Entonces debe ser $O=G=\mathbb{R}$. Sea $A=\mathbb{R}^2.

La inclusión $T'\subset T\times T$ no es cierta: el conjunto $A=\{(1,0\}$ pertenece a T', pero no hay ningún abierto del tipo $O\times G$ de $T\times T$ tal que $(1,0)\in O\times G\subset A $.

Se puede hacer un razonamiento para todo lo anterior, pero usando bases de entornos.