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domingo, 21 de diciembre de 2008

Topología producto y topología del punto excluido

Consideramos R con la topología T del punto excluido para el punto p=0. ¿Cuál es la relación entre la topología T\times T y la topología T' del punto excluido de R^2 para el punto q=(0,0).

Sea O\times G un abierto de TxT y sea (x,y)\in O\times G. Vamos a encontrar un abierto A de T' tal que (x,y)\in A\subset O\times G. Esto probaría que T\times T está incluida en T' (es menos fina). Caben varias posibilidades:

  1. Ni x ni y son p=0. Entonces tomamos A=\{(x,y)\}, el cual pertenece a T'.
  2. Caso (x,0), y x\not=0. Entonces G=\mathbb{R}. En tal caso tomamos A=\{x\}\times R. El caso (0,x) es análogo.
  3. Caso (0,0). Entonces debe ser O=G=\mathbb{R}. Sea $A=\mathbb{R}^2.

La inclusión T'\subset T\times T no es cierta: el conjunto A=\{(1,0\} pertenece a T', pero no hay ningún abierto del tipo O\times G de T\times T tal que (1,0)\in O\times G\subset A .


Se puede hacer un razonamiento para todo lo anterior, pero usando bases de entornos.

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