En R se considera la relación xSy si x-y es un número entero. Sea p la aplicación proyección de R en R/S. Sabemos que la saturación de un conjunto A es R[A]=A+Z. Sea A=(0,1) y O=p(A). El conjunto A no es saturado, pero p(A) es un abierto en el cociente ya que si hacemos su imagen inversa mediante p, es decir, si calculamos su saturación, tenemos un abierto de R:
R[A]=p^{-1}(p(A))=A+Z=\cup_{n\in Z}(n+A)y cada conjunto de la forma n+A es abierto pues es la traslación (un homeomorfismo) del conjunto A. Si A es abierto, y si p(A) es abierto, ¿es que A es saturado? No. Lo que se sabe es que los abiertos en el cociente son las imágenes mediante p de abiertos saturados. Por tanto, p(A) es la imagen mediante de un cierto abierto saturado V: p(V)=p(A). Concretamente, V=A+Z.
También existen conjuntos A que no son abiertos, pero sí p(A), es decir, existen conjuntos no abiertos cuya saturación sí lo es. Esto ya se preguntó en el blog y ya se dieron ejemplos. En el caso anterior A=[0,1] no es abierto, p(A) sí es abierto, pues R[A]=R
Entonces, en resumen, sea cualquier subconjunto A abierto o no,saturado o no,... de un conjunto X. Siempre que la saturación de A sea un abierto en X, p(A) será abierto en el correspondiente espacio cociente X/R (con R relación de equivalencia correspondiente), ya que va a existir un abierto saturado V de X tal que
ResponderEliminarp(V)=p(A)
ya que... no.
ResponderEliminarSi R[A] es abierto, entonces p(A) es abierto. Por tanto (y no "ya que"), va a existir un abierto saturado V (justamente V=R[A]) tal que p(A)=p(V).
Sí, pero me refería ya, como dije, dentro del caso en que SIEMPRE que R[A] sea abierto, por eso dije ya que...En el caso en que R[A] no fuese abierto p(A) no podría ser abierto, porque p^(-1)(p(A)) que es R[A] no es abierto.
ResponderEliminarEntonces, a la hora de definir la topología cociente ¿también se podría definir como:
ResponderEliminartau/R ={p(A); AcX, R[A] pertenece a tau} ?
Aunque habría un inconveniente,por ejemplo, si la saturación de cualquier otro subconjunto B coincide con la de A (R[A]), p(B) coincidiría con p(A), entonces los abiertos de X/R se repetirían. ¿Por esta razón no se puede definir así?
No, la topología se definió como tau/R={p(A);AcX abierto y R[A]=A}.
ResponderEliminarEl caso que has puesto A no es saturado, ni tampoco abierto. R[A] podría ser abierto, sin serlo A, etc.
Claro, A no tiene por que ser abierto ni saturado, en esta entrada se ha visto que solo por ser R[A] abierto es suficiente para que p(A) sea abierto en el espacio cociente.
ResponderEliminarp^(-1)(p(A)) es R[A] que es abierto en X por lo tanto p(A) abierto en X/R por la definición: tau/R={O'cX/R; p^(-1)(O')cX abierto}