Ante la observación hecha hoy por Renato de que la relación $R_f$ es la que es, vuelvo a comentar lo mismo: consideramos un espacio topológico $(X,T)$ y una relación de equivalencia $R$. Cuando nos estamos preguntando a qué espacio "conocido" es homeomorfo el espacio cociente $X/R$, nos estamos refiriendo a si somos capaces de hallar un espacio topológico $(Y,T')$, "el conocido", donde podamos establecer una identificación $f:X\rightarrow Y$ y de forma que la relación R_f coincida con la relación $R$. Salvo probar que f es una identificación, lo más difícil es encontrar el espacio Y, y la aplicación "pegado" f.
En el ejemplo hecho en clase, $[0,1]/\{0,1\}\cong \mathbb{S}^1$, la aplicación es $f(x)=(\cos(2\pi x),\sin(2\pi x))$.
En general, siempre que tengamos identificaciones, siempre tenemos un homeomorfismo entre $X/R$ y el espacio $Y$. A continuación pongo varios ejemplos. El dominio va a ser un espacio compacto, el codominio, un subconjunto de un espacio euclídeo, y por tanto, es Hausdorff. Esto nos dice que la aplicación es cerrada y por tanto, si restringimos a la imagen, la aplicación es una identificación. Pero ¿cuál es la relación $R_f$? ¿es "tratable"?
- Sea $D$ el disco unida y $f(x,y)=x^2+y^2. Como la imagen es $[0,1]$, entonces $D/R_f\cong [0,1]$.
- En el cuadrado $X=[0,1]\times[0,1]$, se considera $f(x,y)=x^2+y$. Ya que $f(X)=[0,2]$, entonces $X/R_f\cong [0,2]$.
- Consideramos $f:[0,\pi]\rightarrow R$ dada por $f(x)=\sin(x)$. La imagen es $[0,1]$, luego $[0,\pi]/R_f\cong [0,1]$.
Es un halago que me mencione en el blog. Referente a la relación Rf, yo sigo pensando que comprobar que las relaciones R y Rf son la misma es redundante, dado que a la hora de buscar la f, estamos comprobándolo de paso.
ResponderEliminarHaciendo un ejemplo de mi forma de verlo, es como si al utilizar un método para calcular las raices de un polinomio evaluáramos el polinomio en ellas para ver si da 0. No se si me explico.
Me gustaría comentar que en una asignatura de libre configuración estamos viendo geometría elíptica estamos viendo el plano proyectivo (que es un modelo de este tipo de geometría) como S^2 con la relación de equivalencia x~y si x = y o x = -y quedándonos el disco D de manera que los puntos del borde que son antípodas pertenecen a la misma clase. No es la primera vez que veo aplicar la topología a algo en el mundo de las matemáticas, pero aun así no deja de asombrarme la capacidad que tiene para ayudar a simplificar las cosas y a darles consistencia y rigor.
Lo de "redundante" es "relativo", es como "evidente". Pero enlazando con el ejemplo de las raíces, justamente dicho ejemplo te dice que tienes que tener cuidado. Si recuerdas, cuando se resolvía en el instituto ecuaciones donde aparecían logaritmos, después de hacer operaciones, se obtenía que las soluciones deberían pertenecer a un cierto conjunto. Luego había que evaluar, para ver si era de verdad o no una solución. Otro ejemplo es al resolver raiz(x)=2. Se eleva al cuadrado y se tiene x^2=4, luego las soluciones deben estar en el conjunto {2,-2}. Si evaluamos, vemos que x=-2 NO es una solución y que x=2 SÍ es.
ResponderEliminarEl caso del disco se ha hecho/va a hacer en clase.
Las relaciones de equivalencia inducidas por estas aplicaciones son:
ResponderEliminar1) (x,y)R(x',y') si x^2-(x')^2=y^2-(y')^2
2) (x,y)R(x',y') si x^2-(x')^2=y-y'
3) xRy si sen(x)=sen(y)