viernes, 15 de mayo de 2009

¿Se lleva bien la saturación y la topología?

Como en la entrada anterior, consideramos un espacio topológico X y una relación de equivalencia R. Denotamos por R[A] la saturación de un subconjunto (no trivial) A de X. Me pregunto por ejemplos no triviales (si los hubiera) de:
  1. A es abierto pero R[A] no es abierto.
  2. R[A] es abierto, pero A no es abierto.
  3. A es cerrado pero R[A] no es cerrado.
  4. R[A] es cerrado, pero A no es cerrado.
  5. A es conexo pero R[A] no es conexo.
  6. R[A] es conexo, pero A no es conexo.
  7. A es compacto pero R[A] no es compacto.
  8. R[A] es compacto, pero A no es compacto.

18 comentarios:

  1. Si en (R^2,Tu) se considera la relación de equivalencia (x,y)R(x',y') si ó son iguales ó x=x'=0, entonces si consideramos como A la bola abierta de centro (0,0) y radio 1, R[A]=A U {0}xR, que no es abierto de (R^2,Tu)

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  2. Si consideramos la misma relación anterior, con A la bola cerrada de centro (0,0) y radio 1, se puede ver que A es compacto, porque es cerrado y acotado, pero R[A]= A U{0}xR no es compacto, ya que no es acotado.

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  3. En R se puede definir la relación de equivalencia xRy si x=y ó x,y pertenecen al intervalo [-1,1] (es la relación de equivalencia del ejercicio 11 de la relación, tomando como X=R y como A=[-1,1]).

    (-1,1) no es compacto, ya que no es cerrado, pero R[(-1,1)]=[-1,1] sí es compacto.

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  4. Falta ahora ejemplos de R[A] sí... pero A no...

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  5. Ismael ha puesto un ejemplo de A no compacto pero R[A] si compacto.El caso contrario sería por ejemplo:
    Dado X=[-1,1] y la relación R de manera que xRy si x=y ó x=-y (con x,y distintos de {-1,1})
    Sea A=[0,1], es un subconjunto compacto, ya que es un intervalo cerrado de R, en cambio R[A] es (-1,1], que no es cerrado, y por tanto no es compacto

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  6. El mismo ejemplo anterior nos sirve como ejemplo de un subconjunto A cerrado cuya saturación no es cerrada
    A=[0,1] es cerrado y R[A]=(-1,1] no lo es

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  7. El caso contrario sería un subconjunto no cerrado pero cuya saturación sea cerrada:
    Sea X=R, y definimos la relación R dada por xRy sii x=y o x=f(x), y tomamos como f:(R,t)--->(R,t)
    f(x)={3}
    Si tomamos A=[0,3) (subconjunto no cerrado), su saturación es R[A] = A U f(A) =
    A U {3} = [0,3] (subconjunto cerrado)

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  8. Para ver un ejemplo de conjunto conexo cuya saturación no lo es:

    Tomamos en R la relación de equivalencia xRy si x,y pertenecen a Q (si son racionales)

    Sea el subconjunto A=[0,1]. El subconjunto A es conexo puesto que es un intervalo, sin embargo, R[A] no es conexo puesto que no es un intervalo (le faltarían todo los puntos irracionales de [0,1]).

    Este ejemplo serviría para cualquier intervalo de R.

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  9. Un ejemplo de conjunto no conexo y cuya saturación sí lo es:

    En R, la relación xRy si x,y pertenecen al intervalo [-1,1].

    Entonces, el subconjunto A={-1,1} no es conexo porque no es un intervalo de R, sin embargo, R[A]=[-1,1] sí es conexo.

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  10. En el ejemplo que ha puesto estefania, la relación de equivalencia no es tal, ya que no cumple la propiedad simétrica, para ello debería añadir xRy si x,y pertenecen a Q o si x=y, de esta forma, la saturación, sería A U Q, y no sería un intervalo, porque no pertenecen los irracionales que no están en A, ( los de A, sí que pertenecen a la saturación)

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  11. En el ejemplo propuesto por antonio ocurriría lo mismo, es necesario añadir xRy si x,y pertenecen a [-1,1], O SI SON IGUALES, pero de todas formas, la saturación sería [-1,1], que sí es conexo, como explica él

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  12. Azahara, ¿¿por qué en mi ejemplo no se cumple la propiedad simétrica??

    xRy si x,y pertenecen a Q, entonces y,x pertenecen a Q y por tanto yRx.

    Antes de poner el ejemplo comprobé que R era una relación de equivalencia, la propiedad reflexiva y transitiva también las cumple.

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  13. Bueno, si ponemos una relación de equivalencia u otra, en los dos casos tenemos un subconjunto no conexo cuya saturación sí lo es.

    Aunque Azahara, no entiendo muy bien porque dices que le falta la condición de ser iguales a la relación de equivalencia que yo había puesto...

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  14. En los casos de Q y [-1,1], hay que poner además x=y, si no, no se satisface la propiedad reflexiva. En la entrada de Azahara (18 de mayo de 2009 21:22 ), R no es relación de equivalencia.

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  15. R no es una relación de equivalencia ya que no satisface la propiedad transitiva. Es decir, la condición que estaría mal es la de x=f(x).

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  16. Antonio,tanto en tu caso como en el de Estefanía me refería a que hay que poner ademas x=y, como ya ha explicado el profesor.
    Esto se debe a que con la relación que has definido, la clase de un elemento que no pertene al conjunto es vacía, no se relaciona con nadie; pero para que cumpla la propiedad reflexiva, todo elemento(pertenezca o no al conjunto) se tiene que relacionar consigo mismo

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  17. En mi entrada del 18 de Mayo, cometí un error al escribirla, la relación es xRy sii x=y o y=f(x), de todas formas, necesitaría que la aplicación fof fuera la identidad, para que dicha propiedad se cumpliera, gracias por el aviso

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  18. hola a todos es genial leer sus aportaciones sobre las matematicas. yo estoy haciendo un proyecto de investigaciòn sobre continuos y cada vez que lee sus comentarios tengo nuevas ideas para mis ejemplos. gracias

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