Convergencia de sucesiones en la topología del punto incluido

Ya sabemos que en el estudio de la convergencia de sucesiones, si el espacio topológico no es métrico, pueden suceder cosas raras. Recuerdo que aquí vimos que en la topología a derechas, la sucesión $\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $x=0$!

Otro ejemplo es la topología del punto incluido. Aunque lo que viene a continuación se puede hacer en un conjunto arbitrario, vamos a concreta en considerar $X=\mathbb{R}$ con la topología del punto incluido para $p=1$. Sabemos que la sucesión constante $\{1\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $x=1$, pero también converge a ¡cualquier número real!

Efectivamente, dado $y\in\mathbb{R}$, una base de entornos es $\beta_y=\{V:=\{y,1\}\}$. Por tanto, toda! la sucesión se encuentra contenida en $V$. En particular, la topología del punto incluido no es metrizable (en un espacio métrico, las sucesiones convergentes sólo tienen un límite).

Otro ejemplo de sucesión convergente es la sucesión oscilante: $1,-1,1,-1,1,\ldots$. Esta sucesión NO converge a $x=1$, pero SÍ a $x=-1$.

Otra bola no redonda

Continuando con la entrada anterior, pongo otro ejemplo de bola 'no redonda'. Consideramos el siguiente subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^2$: $$\begin{eqnarray*} & & \{(0,0)\}\cup ([1,\infty)\times\{0\})\cup ((-\infty,-1]\times\{0\})\\ & & \cup (\{0\}\times (-\infty,-1])\cup (\{0\}\times [1,\infty)). \end{eqnarray*}$$ En $X$ tomamos la distancia usual $d$ de $\mathbb{R}^2$ y el espacio métrico es $(X,d)$.

La bola que cogemos es $B_1((0,0))$. Esta bola está formada sólo por el punto $(0,0)$ y su frontera es el conjunto vacío. Sin embargo el conjunto $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;d((x,y),(0,0))=1\}$ es $\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}$.

Finalmente la adherencia de la bola coincide con su interior.

Las bolas que no son 'redondas'

Ya he comentado varias veces en este blog sobre esa idea que tenemos en la cabeza de que una bola en un espacio métrico es 'redonda' porque es lo que sucede con una bola de $\mathbb{R}^2$. Consideramos $(X,d)$ un espacio métrico y $B_r(p)$ la bola de radio $r$ y centrada en $p$. Por ser abierto, es cierto que $int(B_r(p))=B_r(p)$.

La confusión que a veces ocurre es cuando queremos relacionar su frontera y su exterior con los conjuntos $F=\{x\in X:d(x,p)=r\}$ y $E=\{x\in X;d(x,p) > r\}$, respectivamente.   Hoy en clase ha salido el siguiente ejemplo que os dejo para que reflexionéis.

Consideramos $X=[0,1]\cup \{2\}$ con la distancia usual, es decir, $d(x,y)=|x-y|$. Hallar la frontera, exterior y los conjuntos $F$ y $E$ de la bola $B_1(2)$.

¿Otro teorema del tipo Complemento-Clausura de Kuratowski?

Continuando con la entrada anterior, podríamos hacer algo parecido con el interior y la adherencia.   Dado un conjunto $A\subset X$ de un espacio topológico $(X,\tau)$, denoto $i(A)=int(A)$ y  $a(A)=\overline{A}$. De nuevo escribiremos $iaa(A)$ al conjunto $int(\overline{\overline{A}})$.

Hacemos ahora todas las combinaciones con $i$ y $a$, es decir, conjuntos de la forma $iaiiaaia(A)$. ¿Cuántos conjuntos diferentes podemos obtener?

De nuevo, tenemos dos restricciones: $ii=i$ y $aa=a$. Recordar que en el teorema de Kuratowski había una tercera más. Por tanto, en todas las expresiones posibles no podemos poner dos letras $i$ seguidas ni dos $a$ juntas. Por tanto, serán expresiones de la forma $iaiaiai$, $iaiaiaiaia$ o $aiaia$.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}$ con la topología usual, tomamos $A=[0,1)$. Si empezamos por $i$ obtenemos $\{A,(0,1),[0,1]\}$. Si empezamos con $a$, tenemos $\{A,[0,1],(0,1)\}$. En este caso tenemos 3 conjuntos.

Tomo otro: $A=[0,1)\cup(1,2]$. Empezando por $i$, tenemos $\{A,(0,1)\cup (1,2),[0,2],(0,2)\}$, es decir, 4 conjuntos.

¿Podéis resolver el problema?

El teorema complemento-clausura de Kuratowski

Como ya hemos visto en las últimas entradas, Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico a través de una aplicación $f:P(X)\rightarrow P(X)$ con unas propiedades de forma que los conjuntos cerrados eran, por definición, aquéllos $A\subset X$ tales que $f(A)=A$. Justamente las propiedades de la aplicación $f$ son las de la adherencia que ya conocemos en un espacio topológico.

Kuratowski planteó el siguiente problema. Sea $A$ un subconjunto de un espacio topológico $(X,\tau)$ ¿cuántos conjuntos diferentes pueden obtenerse de $A$ cuando tomo adherencias y complementarios en el orden y veces que uno quiera?

Para que nos aclaremos con el problema, introducimos la siguiente notación de las dos operaciones. Dado un conjunto $A\subset X$, denoto $a(A)=\overline{A}$ y $b(A)=X-A$. Cuando escriba, por ejemplo, $aab(A)$, esto quiere decir que primero hacemos $b$, luego $a$ y finalmente $a$, es decir, el orden de las operaciones viene dado por la 'cercanía' al símbolo $A$. Así,
$$aab(A)=X-(X-\overline{A}),\ baba(A)=X-\overline{X-\overline{A}}.$$
¡Esto es un juego! El problema en cuestión también aparece en el libro de  Munkres, 'Topology I' y en el de Kelley 'General Topology', Van Nostrand. página 57 (podéis visualizar esta página en internet si buscáis este libro).

Pero sabemos algunas propiedades de las operaciones $a$ y $b$. Así, $aa(A)=A$ y $bb(A)=A$. El resultado que probó Kuratowski es el siguiente:

Teorema. Como mucho hay 14 conjuntos diferentes. Adémás, existen conjuntos donde se alcanza la igualdad. 

Las operaciones concretas son la siguientes: $$\{id,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,ababa, babab,ababab,bababa,bababab\}$$ Un ejemplo de un conjunto donde se tienen exactamente los 14 conjuntos es $$A=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap\mathbb{Q})$$ en la recta euclídea $\mathbb{R}$.

Podéis ver demostraciones en:
http://www.math.cornell.edu/~riley/Teaching/Topology2009/essays/Strabel.pdf
http://abhishekparab.files.wordpress.com/2010/10/kuratowski_closure_complement_problem.pdf

Una nota histórica

Por las dos entradas previas, y buscando en internet, he caido en el libro "Introducción a la Topología" de Margalef y Outerelo, donde en la página 230 viene una "Nota histórica" que me parece muy interesante y que recoge quiénes fueron los primeros en hablar de 'espacios topológicos', 'abierto", "interior", etc. Transcribo íntegramente dicha nota.

"La definición de espacio topológico, como se entiende actualmente, fue dada por K. Kuratowski en 1922 en el artículo "Sur l'operation $\overline{A}$ de l'Analysis Situs", publicado en la revista Fundamenta Mathematica V.3, 182-199. Para ello utilizó el operador de adherencia.

Las nociones de conjunto abierto, conjunto cerrado, adherencia e interior fueron introducidas por G. Cantor, en una serie de artículo publicados entre 1879 y 1884, en la clase de subconjuntos de los espacios euclídeos. Estos conceptos fueron generalizados por F. Hausdorff en 1914 a espacios topológicos abstractos.

Las nociones de frontera de un conjunto, conjunto derivado y conjunto denso fueron introducidas por G. Cantor. Los espacios separables fueron definidos por M. Frechet en 1906. Los espacios topológicos $T_1$ fueron introducidos por Riesz en 1907."

He intentado buscar en MathScinet dichos artículos, pero son muy antiguos y no logro tenerlos.Sí he visto el artículo en http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3121.pdf. Podéis comparar con las propiedades de la aplicación $f$ de la entrada anterior. También que aparecen propiedades de la adherencia de conjuntos. ¡Fijaros que no usa la notación $A\cup B$ sino $A+B$, $A\times B$ por $A\cap B$, el complementario de $A$ por $A^1$ y que $X$ lo denota por $1$! En la página 5 aparece 'conjunto cerrado' (...est dit fermé...) y en la siguiente, 'frontera' (=bord) e interior (=l'interieur). Concretamente en dicha página aparece la propiedad $\overline{X-A}=X-int(A)$ escrita diciendo que el interior de $A$ es $A^{1-1}$. Finalmente, en la página 7 aparece la palabra 'abierto', dicienco que un dominio es abierto (domain ouvert) si $A=A^{1-1}$.

Por otro lado, en la página web "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics", no he visto de forma clara esas asignaciones: por ejemplo, leer la entrada correspondiente a "topological space".

Recordando a Kuratowski (II)

De la misma forma que en la entrada anterior, podemos trabajar con adherencias y cerrados.

TEOREMA. Sea $X$ y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(\emptyset)=\emptyset$,
2. $A\subset f(A), \forall A\subset X$,
3. $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $\overline{A}=f(A), \forall A\subset X$.

Concretamente, fue así como Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico.

Tenemos ahora dos formas de probar el teorema. La primera es, de forma análoga a la entrada anterior, definir la familia de cerrados como aquellos conjuntos $A$ tales que $f(A)=A$.

La segunda es pasar por el resultado de la entrada anterior. Como sabemos que en un espacio topológico,
$int(A)=X-\overline{X-A}$, definimos $g: P(X)\rightarrow P(X)$ mediante $$g(A)=X-f(X-A).$$ Quedaría por probar que $g$ satisface las propiedades de la entrada anterior (para ello hay que usar las que tiene $f$). Una vez esto, $int(A)=g(A)$ y por tanto,  usando la definición de $g$, concluimos
$$\overline{A}=X-int(X-A)=X-g(X-A)= X-(X-f(A))=f(A).$$

Rercordando a Kuratowski

A continuación introducimos el concepto de espacio topológico siguiendo ideas de Kuratowski. La idea es tomar las propiedades del interior de un conjunto. Así tenemos el siguiente resultado:

Sea $X$ un conjunto y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(X)=X$,
2. $f(A)\subset A, \forall A\subset X$,
3. $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $int(A)=f(A), \forall A\subset X$.

Nos damos cuenta que justamente la aplicación $f$ tiene las mismas propiedades que la operación interior en un espacio topológico. Evidentemente, la familia $\tau$ se define como aquellos conjuntos $O\subset X$ que satisfacen $f(O)=O$. Os dejo como ejercicio probar que $\tau$ es, efectivamente, una topología en $X$.

Queda por probar que  $int(A)=f(A)$. Por la propiedad 4) y la definición de $\tau$, $f(A)$ es un conjunto abierto. Además, por la propiedad 2), $f(A)\subset A$. Por tanto, $f(A)\subset int(A)$ ya que $int(A)$ es el conjunto abierto más grande incluido en $A$. Por otro lado, como $int(A)\subset A$, $f(int(A))\subset f(A)$. Como $int(A)$ es un abierto, $f(int(A))=int(A)$, luego $int(A)\subset f(A)$, teniendo ya la otra inclusión.

Diferentes topologías, mismo interior

Sea $X$ un conjunto con diferentes topologías $\tau_1$ y $\tau_2$. Si $A\subset X$ es un subconjunto, su interior puede coincidir en $(X,\tau_1)$ y en $(X,\tau_2)$. Por ejemplo, el interior de $X$ es $X$  en con cualquier topología posible en $X$. Lo mismo pasa con $\emptyset$.

Si queremos irnos a otros subconjuntos $A$, podemos tomar $X=\mathbb{R}$. Sea $A=(0,\infty)$. El interior de este conjunto es $A$ considerando en $\mathbb{R}$:

• la topología discreta,
• la topología usual,
• la topología del punto incluido para $p=1$,
• la topología del conjunto incluido si dicho conjunto es $[1,2]$,
• la topología del punto excluido para $p=0$,
• la topología a derechas,
• la topología de Sorgenfrey,
• la topología que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$.

Lo que no puede suceder es que el interior de todos los subconjuntos coincidan para dos topologías distintas $\tau_1$ y $\tau_2$, ya que los conjuntos abiertos vienen caracterizados en términos del interior de un conjunto.

A veces las cosas son más sencillas

Con el título de esta entrada me quiero referir a que a veces, para probar que una familia de subconjuntos son abiertos, o son base de entornos, algunas propiedades son más fáciles de probar que como uno podía imaginarse. Algunos ejemplos ya han aparecido en clase. Voy a exponer dos de ellos.

En la prueba de que cierta familia es base de abiertos, la segunda propiedad dice: 'si $B_1$ y $B_2$ son elementos de $\beta$ y $x\in B_1\cap B_2$, entonces existe $B_3\in\beta$ tal que $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$'. A veces sucede que la intersección $B_1\cap B_2$ es ya un elemento de $\beta$, luego podemos tomar $B_3=B_1\cap B_2$. Así ocurre en la topología usual de $\mathbb{R}$. Ésta se definió como aquélla generada por la familia de intervalos abiertos acotados $\beta=\{(a,b);a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Aquí la intersección de dos intervalos abiertos es YA un intervalo abierto.

El segundo ejemplo que pongo es para base de entornos. La última propiedad que hay que probar es la siguiente: 'Sea $V\in\beta_x$. Entonces existe $_0\in\beta_x$ tal que si $y\in V_0$ entonces existe $V_y\in\beta_y$ tal que $V_y\subset V$'. A veces sucede que basta tomar $V_0=V$. El siguiente ejemplo es muestra de ello. Consideramos $\mathbb{R}$ y para cada $x\in\mathbb{R}$ asociamos $\beta_x=\{(x-\epsilon,x+2\epsilon);\epsilon > 0\}$. Tomamos un $V= (x-\epsilon,x+2\epsilon)$ y cojamos $V_0=V$. Si $y\in V_0$, definimos $V_y$ del siguiente modo. Sea $r > 0$ tal que $x-\epsilon < y-r < y+r < y+2\epsilon$. Sea $\delta=r/2$. Entonces $V_y=(y-\delta,y+2\delta)$ satisface $V_y\subset V$.

Muchos entornos, entornos pequeños

Una vez conocido el concepto de base de entornos, nos podemos dar cuenta que más importante que saber si un entornos es 'grande' o no, más interesantes es poder controlar su número. 

Una vez que se explique el concepto de aplicación continua, se podrá intuir mejor que la idea de entorno se refiere a la 'cercanía' alrededor de un punto. Cuando uno tiene un entorno $U$ de $x$, cualquier conjunto que contenga a $U$ también es entorno de $x$. Por tanto, hay 'muchos' entornos. Otra cosa diferente es si un entorno es grande a cuanto 'tamaño'.

Espero que el siguiente ejemplo aclare estas ideas. Tomamos $\mathbb{R}$ con la topología a derechas. Una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,\infty)\}$, es decir, la base SÓLO tiene un elemento. Sin embargo, $[x,\infty)$ es 'grande' si uno compara con otros conjuntos que contenga a $x$ pero que no son entornos, como sucede por ejemplo con el intervalo $(x-1,x+1)$.

Comparando base de abiertos y base de entornos

Quiero comparar las definiciones de 'base de abiertos' y 'base de entornos'. Recuerdo ambos conceptos. 

•  Una familia $\beta$ es base de abiertos si es una familia de abiertos de forma que todo abierto es entorno de elementos de $\beta$. 
• (*) Por otro lado, una base de entornos de $x$ es una familia $\beta_x$ de entornos de $x$ de forma que dado un entorno $U$ de $x$, existe $V\in\beta_x$ tal que $V\subset U$.

Podemos observar que son diferentes en el sentido en que para base de abiertos, todo abierto se 'construye' a base de elementos de $\beta$ mientras que para base de entornos usamos la inclusión de conjuntos. Sin embargo, recuerdo que ya se caracterizó el concepto de base de abiertos del siguiente modo: una familia de abiertos $\beta$ es base de abiertos si para cada $O\in\tau$ y $x\in O$, existe $B\in\beta$ tal que $x\in  B\subset O$. En este sentido sí se puede ver que sí se parece a la definición de 'base de entornos'.

Lo que quiero indicar es que no podemos 'expresar' el concepto de base de entornos del mismo modo que base de abiertos, es decir, si una familia $\beta_x$ de entornos de $x$ es base de entornos, no todo entorno de $x$ se puede poner como unión de entornos de $\beta_x$.

Consideramos la topología a derechas en $\mathbb{R}$, donde una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,\infty)\}]$. En este case dicha base sólo tiene un elemento, luego las uniones que hagamos de elementos de $\beta$ sólo nos da $[x,\infty)$. Sin embargo, hay muchos más entornos de $x$, por ejemplo, $U=(x-1,\infty)$.

Finalmente, en un sentido sí se tiene lo mismo, concretamente, si $\beta_x$ es una familia de entornos de $x$ de forma que todo entornos es unión de elementos de $\beta_x$, entonces $\beta_x$ sí es base de entornos, ya que si $U=\cup_{i\in I}V_i$, con $V_i\in\beta_x$, entonces $V_i\subset U$ $\forall i\in I$.

Sobre entonos en R^2

Uno de los espacios topológicos del último día fue el siguiente. Sea $X=\mathbb{R}^2$ y $\beta=\{\mathbb{R}\times\{b\};b\in\mathbb{R}\}$.

Muestro cómo son algunos entornos de un punto, por ejemplo, $p=(0,0)$. Un entorno $U$ es un conjunto tal que existe un elemento de la base entre $p$ y $U$, es decir, existe $b\in\mathbb{R}$ tal que $p\in \mathbb{R}\times\{b\}\subset U$. Esto fuerza a que $b=0$. Por tanto $U$ es entorno de $p$ si y sólamente si contiene al eje de abcisas $\mathbb{R}\times\{0\}$.

Así, el disco $\{(x,y);x^2+y^2 < 1\}$ NO es un entorno de $p$, ni tampoco $[-1,1]\times [-1,1]$. Y sí lo son el propio eje de abcisas, o el semiplano $y\geq 0$, o los dos ejes coordenados, esto es, $\{x=0\}\cup\{y=0\}$.