Sobre entonos en R^2

Uno de los espacios topológicos del último día fue el siguiente. Sea $X=\mathbb{R}^2$ y $\beta=\{\mathbb{R}\times\{b\};b\in\mathbb{R}\}$.

Muestro cómo son algunos entornos de un punto, por ejemplo, $p=(0,0)$. Un entorno $U$ es un conjunto tal que existe un elemento de la base entre $p$ y $U$, es decir, existe $b\in\mathbb{R}$ tal que $p\in \mathbb{R}\times\{b\}\subset U$. Esto fuerza a que $b=0$. Por tanto $U$ es entorno de $p$ si y sólamente si contiene al eje de abcisas $\mathbb{R}\times\{0\}$.

Así, el disco $\{(x,y);x^2+y^2 < 1\}$ NO es un entorno de $p$, ni tampoco $[-1,1]\times [-1,1]$. Y sí lo son el propio eje de abcisas, o el semiplano $y\geq 0$, o los dos ejes coordenados, esto es, $\{x=0\}\cup\{y=0\}$.