A veces las cosas son más sencillas

Con el título de esta entrada me quiero referir a que a veces, para probar que una familia de subconjuntos son abiertos, o son base de entornos, algunas propiedades son más fáciles de probar que como uno podía imaginarse. Algunos ejemplos ya han aparecido en clase. Voy a exponer dos de ellos.

En la prueba de que cierta familia es base de abiertos, la segunda propiedad dice: 'si $B_1$ y $B_2$ son elementos de $\beta$ y $x\in B_1\cap B_2$, entonces existe $B_3\in\beta$ tal que $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$'. A veces sucede que la intersección $B_1\cap B_2$ es ya un elemento de $\beta$, luego podemos tomar $B_3=B_1\cap B_2$. Así ocurre en la topología usual de $\mathbb{R}$. Ésta se definió como aquélla generada por la familia de intervalos abiertos acotados $\beta=\{(a,b);a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Aquí la intersección de dos intervalos abiertos es YA un intervalo abierto.

El segundo ejemplo que pongo es para base de entornos. La última propiedad que hay que probar es la siguiente: 'Sea $V\in\beta_x$. Entonces existe $_0\in\beta_x$ tal que si $y\in V_0$ entonces existe $V_y\in\beta_y$ tal que $V_y\subset V$'. A veces sucede que basta tomar $V_0=V$. El siguiente ejemplo es muestra de ello. Consideramos $\mathbb{R}$ y para cada $x\in\mathbb{R}$ asociamos $\beta_x=\{(x-\epsilon,x+2\epsilon);\epsilon > 0\}$. Tomamos un $V= (x-\epsilon,x+2\epsilon)$ y cojamos $V_0=V$. Si $y\in V_0$, definimos $V_y$ del siguiente modo. Sea $r > 0$ tal que $x-\epsilon < y-r < y+r < y+2\epsilon$. Sea $\delta=r/2$. Entonces $V_y=(y-\delta,y+2\delta)$ satisface $V_y\subset V$.