Recordando a Kuratowski (II)

De la misma forma que en la entrada anterior, podemos trabajar con adherencias y cerrados.

TEOREMA. Sea $X$ y $f:P(X)\rightarrow P(X)$ una aplicación en el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $f(\emptyset)=\emptyset$,
2. $A\subset f(A), \forall A\subset X$,
3. $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$, $\forall A, B\subset X$,
4. $f(f(A))=f(A), \forall A\subset X$.

Entonces existe una única topología $\tau$ en $X$ con la propiedad de que $\overline{A}=f(A), \forall A\subset X$.

Concretamente, fue así como Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico.

Tenemos ahora dos formas de probar el teorema. La primera es, de forma análoga a la entrada anterior, definir la familia de cerrados como aquellos conjuntos $A$ tales que $f(A)=A$.

La segunda es pasar por el resultado de la entrada anterior. Como sabemos que en un espacio topológico,
$int(A)=X-\overline{X-A}$, definimos $g: P(X)\rightarrow P(X)$ mediante $$g(A)=X-f(X-A).$$ Quedaría por probar que $g$ satisface las propiedades de la entrada anterior (para ello hay que usar las que tiene $f$). Una vez esto, $int(A)=g(A)$ y por tanto,  usando la definición de $g$, concluimos
$$\overline{A}=X-int(X-A)=X-g(X-A)= X-(X-f(A))=f(A).$$