El teorema complemento-clausura de Kuratowski

Como ya hemos visto en las últimas entradas, Kuratowski introdujo el concepto de espacio topológico a través de una aplicación $f:P(X)\rightarrow P(X)$ con unas propiedades de forma que los conjuntos cerrados eran, por definición, aquéllos $A\subset X$ tales que $f(A)=A$. Justamente las propiedades de la aplicación $f$ son las de la adherencia que ya conocemos en un espacio topológico.

Kuratowski planteó el siguiente problema. Sea $A$ un subconjunto de un espacio topológico $(X,\tau)$ ¿cuántos conjuntos diferentes pueden obtenerse de $A$ cuando tomo adherencias y complementarios en el orden y veces que uno quiera?

Para que nos aclaremos con el problema, introducimos la siguiente notación de las dos operaciones. Dado un conjunto $A\subset X$, denoto $a(A)=\overline{A}$ y $b(A)=X-A$. Cuando escriba, por ejemplo, $aab(A)$, esto quiere decir que primero hacemos $b$, luego $a$ y finalmente $a$, es decir, el orden de las operaciones viene dado por la 'cercanía' al símbolo $A$. Así,
$$aab(A)=X-(X-\overline{A}),\ baba(A)=X-\overline{X-\overline{A}}.$$
¡Esto es un juego! El problema en cuestión también aparece en el libro de  Munkres, 'Topology I' y en el de Kelley 'General Topology', Van Nostrand. página 57 (podéis visualizar esta página en internet si buscáis este libro).

Pero sabemos algunas propiedades de las operaciones $a$ y $b$. Así, $aa(A)=A$ y $bb(A)=A$. El resultado que probó Kuratowski es el siguiente:

Teorema. Como mucho hay 14 conjuntos diferentes. Adémás, existen conjuntos donde se alcanza la igualdad. 

Las operaciones concretas son la siguientes: $$\{id,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,ababa, babab,ababab,bababa,bababab\}$$ Un ejemplo de un conjunto donde se tienen exactamente los 14 conjuntos es $$A=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap\mathbb{Q})$$ en la recta euclídea $\mathbb{R}$.

Podéis ver demostraciones en:
http://www.math.cornell.edu/~riley/Teaching/Topology2009/essays/Strabel.pdf
http://abhishekparab.files.wordpress.com/2010/10/kuratowski_closure_complement_problem.pdf