Muchos entornos, entornos pequeños

Una vez conocido el concepto de base de entornos, nos podemos dar cuenta que más importante que saber si un entornos es 'grande' o no, más interesantes es poder controlar su número. 

Una vez que se explique el concepto de aplicación continua, se podrá intuir mejor que la idea de entorno se refiere a la 'cercanía' alrededor de un punto. Cuando uno tiene un entorno $U$ de $x$, cualquier conjunto que contenga a $U$ también es entorno de $x$. Por tanto, hay 'muchos' entornos. Otra cosa diferente es si un entorno es grande a cuanto 'tamaño'.

Espero que el siguiente ejemplo aclare estas ideas. Tomamos $\mathbb{R}$ con la topología a derechas. Una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,\infty)\}$, es decir, la base SÓLO tiene un elemento. Sin embargo, $[x,\infty)$ es 'grande' si uno compara con otros conjuntos que contenga a $x$ pero que no son entornos, como sucede por ejemplo con el intervalo $(x-1,x+1)$.