Más sobre propiedades topológicas

Sea $(X,T)$ un espacio topológico que no satisface una propiedad topológica (P1). Todo espacio homeomorfo a $(X,T)$ no satisface tampoco (P1). Si $(Y,T')$ no satisface (P1) podría ser o no ser homeomorfo. Tener un gran número de propiedades topológicas nos permite distinguir dos espacios topológicos.

Sea $X$ un conjunto (infinito) y denotamos por Tcf la topología de los complementos finitos y por Tt la topología trivial. Los espacios topológicos $(X,Tcf)$ y $(X,Tt)$ no satisfacen la propiedad (P1) de "separar puntos por entornos disjuntos".

Consideramos la propiedad (P2) siguiente: "los entornos de cada punto son conjuntos finitos". Es evidente que dicha propiedad es topológica. De nuevo, los espacios $(X,Tcf)$ y $(X,Tt)$ no satisfacen ambos la propiedad (P2): para $(X,Tt)$ es evidente pues $X$ es el único entorno de cada punto y cada entorno en la topología Tcf, debe contener un abierto que es de la forma $X-F$, con $F$ un conjunto finito.

Definamos la siguiente propiedad topológica (P3): un espacio topológico $(X,T)$ satisface (P3) si dados dos puntos distintos existe, para alguno de dichos puntos, un entorno que no contiene al otro. El espacio $(X,Tcf)$ satisface (P3), pues si $x$ e $y$ son puntos distintos, tomamos $U=X-\{y\}$, que es entorno de $x$ y no contiene a $y$. Sin embargo, $(X,Tt)$ no satisface (P3) porque el único entorno de cada punto es el propio conjunto $X$. Como conclusión, $(X,Tcf)$ y $(X,Tt)$ no son homeomorfos.

(Por Concepción Rodríguez Roca)

Las bolas no son homeomorfas entre ellas

En un espacio métrico $(X,d)$ las bolas no son homeomorfas entre ellas, aún teniendo el mismo centro. Esto choca con la idea intuitiva que tenemos de las bolas del plano $\mathbb{R}^2$ (con la distancia usual): las bolas son redondas, redondas de toda la vida.
Ejemplos son los siguientes:

1) Tomamos el subconjunto de $\mathbb{R}$ dado por $X=\{0\}\cup [1,2]$ con la distancia usual. La bola B_1(0)=\{0\} tiene sólo un elemento y la bola $B_2(0)=\{0\}\cup[1,2)$ tiene infinitos. Por tanto no es que no sean homeomorfos, es que ni son biyectivos.

2) En $\mathbb{R}$ tomamos la distancia discreta. Entonces $B_{1}(0)=\{0\}$ y $B_2(0)=\mathbb{R}$. De nuevo no son homeomorfos.

Cuando se ha probado que las bolas de $\mathbb{R}^2$ son homeomorfas entre ellas, se ha encontrado explícitamente un homeomorfismo entre una y otra de la forma $f(x)= r x+p$, con $r > 0$ y $p$ un vector de $\mathbb{R}^2$. Para definir este homeomorfismo, es fundamental la estructura afín del plano euclídeo (para poder sumar puntos y multiplicar por escalares, y no salirse del espacio). Por ejemplo, con la aplicación $f$ anterior no se puede escribir $f:X\rightarrow X$ con $X=\{0\}\cup [1,2]$.

"Ser o no ser...homeomorfos"

La técnica para probar que dos espacios son homeomorfos es completamente distinta a la de probar que no lo son. Para el primer caso, si $X$ e $Y$ son dos espacios topológicos de los cuales sospechamos que sí son homeomorfos hay que encontrar explícitamente un homeomorfismo entre ellos. La dificultad radica en definir dicho homeomorfismo.

Por el contrario, si lo que se quiere es probar que no son homeomorfos, hay que encontrar una propiedad topológica (P) que satisfaga uno de los espacios pero no el otro. En esta situación lo que hay que tener es un gran número de propiedades topológicas que podamos testar con cada unos de los espacios, hasta encontrar una que nos sirva.

Por otro lado, si (P) es una propiedad topológica que satisface ambos espacios topológicos, entonces no podemos deducir nada. Es más, espacios que no son homeomorfos pueden satisfacer ambos algunas propiedades topológicas.

Consideremos $X=[0,1]$ e $Y=(0,1)$, ambos con la topología usual. Como $X$ e $Y$ son espacios métricos satisfacen la propiedad (P) de separar puntos por entornos disjuntos. Esto nos quiere decir que debemos buscar otra propiedad. La propiedad (Q) de que toda función continua alcanza un máximo la satisface $X$, pero no $Y$. Por tanto $X$ e $Y$ no son homeomorfos.

Sea ahora el conjunto de los números reales R con la topología discreta $\tau_D$ y la topología usual $\tau_u$. Entonces $(\mathbb{R},\tau_D)$ y $(\mathbb{R},\tau_u)$ no son homeomorfos. Uno puede sospechar que basta con estudiar la aplicación identidad. Hay que decir que no es suficiente. Sabemos que la aplicación identidad de $(\mathbb{R},\tau_u)$ a $(\mathbb{R},\tau_D)$ no es un homeomorfismo, pero podría haber otro homeomorfismo (distinto de la identidad) entre ambos espacios topológicos.

Supongamos que hay un homemorfismo f entre $(\mathbb{R},\tau_D)$ y $(\mathbb{R},\tau_u)$. Se toma el conjunto $A=\{1\}$. Este conjunto es abierto en $(\mathbb{R},\tau_D)$ pero su imagen, a saber, $f(A)=\{f(1)\}$, es un conjunto formado por un único número y por tanto, no es abierto en la topología usual $\tau_u$. Concluimos que ambos espacios no son homeomorfos (en verdad se está usando la siguiente propiedad topológica (P): "todo conjunto del espacio es abierto".)

El concepto de convergencia de sucesiones es topológico

Consideramos en el conjunto de los números reales R la sucesión

.

1. Con la topología usual esta sucesión converge a 0.

2. Con la topología de Sorgenfrey esta sucesión NO converge a 0: tomando como entorno de 0 el intervalo $U=[0,1)$, la sucesión no cae dentro de U a partir de algún lugar.

3. Con la topología a derechas, la sucesión NO es convergente a 0: de forma parecida a antes, se toma U=[0,infinito).

4. Con la topología de los complementos finitos, la sucesión converge a cualquier número, por ejemplo, a 80: sea U=R-F un entorno cualquiera de 80, donde F es un conjunto finito de puntos (y 80 pertenece a U). Es evidente que a partir de un cierto lugar, toda la sucesión cae dentro de U (observad que R-F es todo R salvo un conjunto finito de puntos).
En este caso, hay infinitos límites.

5. Con la topología del punto incluido, con $p=0$, la sucesión es NO convergente: un entorno de 0 es . Es evidente que la sucesión no cae dentro de U. Es más, la única sucesión convergente a $0$ es la que es constantemente 0 a partir de un cierto lugar.

6. Con la topología del punto excluido, con p=0, la sucesión es convergente a $0$: el único entorno de $0$ es R.

Sobre la continuidad de una aplicación definida "a trozos".

1. La función

dada por f(x)=1 si y f(x)=-1 si es continua, es decir, es continua en todo punto. Esto se debe a que en cada intervalo y , la aplicación es continua, al ser constante. Como cada uno de los intervalos es un abierto en $X$, entonces $f$ es continua. También se puede probar la continuidad de f punto a punto, usando epsilons y deltas.

2. Sea Q el conjunto de los número racionales e I, el de los irracionales. La aplicación f:R->R definida por $f(x)=0$ si $x\in \mathbb{Q}$ y $f(x)=1$ si $x$ es irracional no es continua (es más, no es continua en ningún punto). Esto se puede probar usando límites laterales. Obsérvese que Q e I no son conjuntos abiertos de R (ni ambos son cerrados).

3. Sea f:R->R una aplicación que no sea continua. Sea A_x={x}, para cada número real x. Es evidente que la restricción de f a A_x es continua (es constante). Por otro lado, la recta real es unión de todos los A_x, y cada uno de estos conjuntos son cerrados. Pero no podemos usar el teorema ya que R no es unión finita de cerrados.

4. Sea $A=\{0,1\}$ y B=R-{0}. Se define la aplicación f:R->R mediante $f(x)=x$ si $x\in A$ y $f(x)=1$ si $x\in B$. La restricción de $f$ en $A$ es continua pues es la restricción de la identidad. La restricción de $f$ a $B$ es continua, al ser constante. Sin embargo $f$ no es continua en x=0 (tomando límites laterales). Obsérvese que ni $A$ y $B$ son abiertos de R, y ni $A$ ni $B$ son cerrados de R.

Ejercicios para subir nota

Después del examen del tema 1, he pensado que para que los alumnos tenga una motivación mayor a la hora de hacer ejercicios, voy a proponer la realización de un ejercicio de topología a cambio de una mayor nota en los exámenes.

La idea es la siguiente.

• El alumno que desee tendrá asignado un ejercicio (por ahora, del tema 1).
• Después de hacerlo, se lo resolverá al profesor en la pizarra o en un papel. Esto se hará en horas de tutoría y en un tiempo aproximado de veinte minutos.
• Por la resolución del ejercicio, el alumno tendrá un (1) punto más en el examen del tema siguiente.
• Si no lo hiciera bien, lo volvería a intentar en días posteriores.
• La solución del ejercicio debe estar escrita, con sus correspondientes razonamientos y detalles. Dicha solución se dejará para ser fotocopiada por el resto del curso.
• Desde que se asigna el ejercicio, hasta exponerlo se dejará una semana.
• Se empieza este martes con aquellos alumnos que hayan suspendido el examen. La próxima semana se empezaría con la exposición de las soluciones.

Tengo pensado que los alumnos hagan al menos dos ejercicios antes del examen. Los alumnos que hayan aprobado pueden también acogerse a este plan. Mejor me parece que éstos, en vez de hacer un ejercicio, hagan una entrada al blog.

• En consonancia con el "estilo" del blog, un alumno puede proponer al profesor una "entrada" para ser publicada al día siguiente.
• Tendría que ser sobre un asunto tratado en el momento de realizar la entrada.
• El alumno lo escribe en un papel , me lo da, y yo lo escribo en el blog.
• Cada entrada sería un (1) punto en el examen del tema siguiente.

La continuidad es un concepto topológico

La noción de función continua que se da en primer curso de carrera hace intervenir la distancia usual de la recta real: d(x,y)=x-y. Sin embargo y como se ha puesto de manifiesto al comienzo del tema 2, el concepto de continuidad es topológico al poder expresarse en términos de entornos de un punto. Mostramos esto con dos ejemplos.

El plano R^2 tiene tres distancias equivalentes, es decir, las topologías determinadas por ellas (las que tienen por base las bolas) coinciden. Estas distancias son:

Si escribimos en términos de epsilons y deltas la definición de continuidad en un punto, aparecerían tres expresiones "diferentes" ya que habría que hacer intervenir las distancias anteriores. Sin embargo sabemos que las "definiciones" son equivalentes, es decir, una función es continua para una distancia si y sólamente es continua para cualquiera de las otras dos.

El segundo ejemplo dice que, fijando el conjunto, pero cambiando la topología, una función puede ser continua para una topología y no para la otra. Como ejemplo tenemos el siguiente. Sea dada por f(x,y)=x^2+y^2. En R consideramos la topología usual. En R^2 consideramos la topología usual T_1 y la topología de los complementos finitos T_CF. Entonces es continua, ya que es una función polinómica (esto es conocido del Cálculo). Sin embargo no es continua porque: es un cerrado de R y el conjunto no es cerrado en la topología de los complementos finitos ya que no es finito (dicho conjunto es una circunferencia).

Tocando el infinito

Sea p un objeto y R la recta real. Consideramos el conjunto X mediante

. Definimos una base de abiertos en X del siguiente modo: . Sea T la topología que determina beta.

Se tiene los siguiente hechos:

1) La topología inducida en R es la topología usual de R.
2) Una base de entornos de p es .

Podemos ver p como el infinito (el símbolo ) del siguiente modo. Recordemos que del Cálculo el infinito aparece como un símbolo al indicar una sucesión "que tiende a infinito". Exactamente, una sucesión a_n tiende a infinito si . Veamos que esta sucesión "converge a p". Para ello, sea U un entorno de p de la base de entornos, es decir, para un cierto número natural m y probamos que, a partir de un cierto lugar, la sucesión cae dentro U. Sea M>m. Entonces, para .

Por tanto, tenemos que si y sólo si . Podemos, pues, identificar p con el infinito.

No todo vale en topología

En el curso se han dado varias bases de topologías en el plano R^2. Algunos ejemplos son:
beta: las bolas; beta_1: las rayas verticales; beta_2: las rayas horizontales; beta_3: las rayas oblícuas a 45 grados; beta_4: las bandas horizontales; beta_5: las bandas verticales, y así sucesivamente.

Parece ser que uno puede coger cualquier "tipo" de conjunto, y probar que es una base. Pues no. No todo vale en topología.

Una familia que sí es base es el conjunto de los hexágonos de R^2: por "hexágono" nos referimos la parte de dentro de un hexágono, y los hexágonos son tomados de todos los tamaños y colocados a lo largo del plano. Es más, la topología que genera es la topología usual (eso ya se ha visto en la anterior entrada del blog, tomando como manchurrón M un hexágono concreto).

Una familia de subconjuntos del plano que no forman una base es la familia de cuadrados: por "cuadrado" nos referimos a un cuadrado como polígono (sólo los lados). Por un lado, es evidente que la primera propiedad de base se satisface, ya que la unión de todos los cuadrados es todo el plano. Sin embargo, no es cierta la segunda propiedad. Tomamos dos cuadrados y lo intersecamos. La intersección es un número finito de puntos (uno o dos). Entonces dado un punto de la intersección (uno de esos puntos) no es posible hallar un cuadrado entre el punto y la intersección.

Otro ejemplo de familia que no es base es la familia de todos las cruces: por una "cruz" entendemos la unión de una recta vertical y de otra horizontal. Un razonamiento análogo al anterior prueba que no es base para ninguna topología.

La topología de los manchurrones es la topología usual

Consideramos un manchurrón M en el plano R^2 (suponemos que el borde de M no está incluido). Tomamos todas las homotecias y traslaciones de M, es decir, estamos tomando todos los manchurrones que son ampliaciones o disminuciones de M (homotecias) y todas sus copias (traslaciones). Llamamos beta el conjunto de todos estos manchurrones.

La familia beta es base de una topología T de R^2. Si tomamos dos manchurrones M_1 y M_2 y un punto x en su intersección. Entonces entre la intersección de M_1 y M_2 y x es posible colocar enmedio un manchurrón.

La topología T es la topología usual. Para ello, usamos él criterio de Hausdorff. Sea Beta el conjunto de todas las bolas euclídeas de R^2 (que genera la topología usual). Es evidente que dada una bola y un punto suyo, enmedio existe un manchurrón. Recíprocamente, si x es un punto de un manchurrón, es posible colocar una bola enmedio.