jueves, 16 de abril de 2009

Conexión y compactificación de Alexandroff

Si un espacio (no compacto) es conexo, su compactificación X* por un punto es conexa, ya que $X^*$ es la adherencia de X, y por tanto, conexo.


Sin embargo, X puede ser no conexo, y su compactificación de Alexandroff por un punto puede ser conexo.


Por ejemplo, sea $X=(0,1)\cup (2,3).$ entonces $X^*$ es conexo.


Para ello, sean A y B dos abiertos formando una partición de $X^*$. Supongamos que A contiene a infinito. Entonces B es un abierto de X y $X^*-A=B$ es compacto y cerrado de X. Por tanto, B es abierto, cerrado de X. Entonces los conjuntos $B_1:=B\cap (0,1)$ y $B_2:=B\cap (2,3)$ son no vacío. Por tanto, $B_1$ es abierto y cerrado en $(0,1)$. Por conexión, $B_1=(0,1)$ y de la misma forma, $B_2=(2,3)$. Esto quiere decir que B es X, luego $A=\{\infty \}$ , el cual no es abierto: contradicción.

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