viernes, 17 de abril de 2009

La compactificación de Alexandroff y separación

Consideramos X un espacio topológico y X* su compactificación de Alexandroff por un punto. Tenemos el resultado que nos dice que el espacio X* es T_2 si y sólamente si X es T_2 y localmente compacto.
Pero ¿qué sucede si queremos que sea T_0 o T_1, etc.
Por ejemplo, son ciertos los siguientes resultados:
  • X* es T_0 si y sólamente si X es T_0.
  • X* es T_1 si y sólamente si X es T_1.
  • X* es regular si y sólamente si X es regular.
  • X* es normal si y sólamente si X es normal.

4 comentarios:

  1. La frase son ciertos los siguientes resultados es una afirmación o una pregunta?

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  2. ah, eso es lo que tienes que averiguar, si son o no ciertos. Creo que los dos primeros son verdad.

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  3. En el caso de normal no tiene por qué ser cierto, ya que la propiedad sólo se hereda a cerrados, pero X no es un cerrado:
    si lo fueram entonces {infinito} sería abierto, pero no lo es porque X es cerrado en X pero no es compacto ( la compactificación de Alexandrov se hace en espacios no compactos)

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  4. En el caso de regular, la implicación hacia la derecha si es cierta, porque es ver si regular se hereda a X, pero ya vimos que esta propiedad es hereditaria.

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