Formas de hallar el interior de un conjunto

No hay una manera estándar de hallar el conjunto de puntos interiores de un conjunto en un espacio topológico. Con esta entrada en el blog lo que quiero indicar es que, al menos, para los ejemplos de espacios topológicos que se han dado en el curso hay, en cierto sentido, algunos métodos para hallar el interior del conjunto. Algunos consejos son:

1. Lo primero, y esto es muy importante, hay que saber de qué forma se da el espacio topológico, me refiero a si lo que se conoce son los abiertos, los cerrados, una base de la topología, los entornos o una base de entornos. De esta forma, tendremos que usar la caracterización correspondiente de punto interior. Por ejemplo, si se tiene los abiertos, un punto x es interior a un conjunto si existe un abierto O tal que . Si lo que se tiene es base de entornos, entonces x será interior si existe V de la base de entornos tal que .

2. Haber trabajado anteriormente con el espacio topológico, es decir, estar familiarizado con él. Esto se habrá conseguido si se ha hecho ejercicios en dicho espacio topológico.

3. Si se conoce bien los abiertos, entonces se puede usar el hecho de que el interior de un conjunto es el mayor conjunto abierto dentro del conjunto. Esto se ha visto en R con la topología .

4. Puede hacerse "punto por punto". El interior de un conjunto es un subconjunto del mismo. Por tanto, habría que ir punto a punto del conjunto y preguntarse si es interior o no. En R con la topología usual puede hacerse por ejemplo para el conjunto A=[0,1]. Es claro que los puntos del intervalo (0,1) son interiores. Sólo habría que estudiar si 0 y 1 lo son.

5. En R^n con la topología usual, un dibujo nos permite saber cuáles son los puntos interiores. En este caso, usamos base de entornos en cada punto (bolas centradas en el punto) y las bolas son fáciles de dibujar. Cuando uno hace un dibujo tiene que tener claro si lo que se está haciendo es un punto general, o el punto tiene alguna característica especial.

Las bolas dependen de las distancias (aunque éstas sean parecidas)

Sea un espacio métrico (X,d) y A un subconjunto de X. Sea d' la distancia inducida en A. Dado a en A, las bolas B_r(a) de a en (X,d) no son las mismas que las bolas B_r^A(a) en (A,d'). Una bola del primer tipo la forma puntos x de X con . Para las otras, son puntos x de A tal que . Exactamente se tiene que

.

Un ejemplo es el siguiente. Sea X=R con la distancia usual y sea . Tomamos a=0. Entonces
,

Si tomamos a=2, se tiene y

Sea la topología de (X,d) y la de (A,d'). El conjunto A tiene, en principio dos topologías. Una es (la que proviene de la distancia d'); la otra es , es decir, la relativa de . Lo que se ha probado hoy es que ambas coinciden.

Cuidado con la topología relativa

Consideramos $X=\mathbb{R}$ con la topología usual y $A=[0,1)\cup\{3\}$. Véamos que el conjunto $B=[0,1)$ es abierto y es cerrado en A. Basta con darse cuenta de que $B=[0,1]\cap A$ y $B=(-1,1)\cap A$.

Sin embargo el conjunto B no es ni abierto ni cerrado en $\mathbb{R}$.

Un ejemplo en $\mathbb{R}^2$ (con la topología usual) es el siguiente. Sea $A=[0,1]\times[0,1)\cup\{(4,4)\}$ y $B=[0,1]\times [0,1)$. Este conjunto no es ni abierto ni es cerrado en $\mathbb{R}^2$. Sin embargo es abierto y es cerrado en A, ya que $B=B_3(0,0)\cap A$ y $B=\overline{B_3(0,0)}\cap A$.

En otras topologías sucede lo mismo. Por ejemplo, se considera $\mathbb{R}$ con la topología que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$. Sea $A=[0,3]$ y se considera el conjunto $B=(2,3]$. Este conjunto no es abierto en $\mathbb{R}$. Sin embargo es abierto en A ya que
$B=A\cap (2,\infty)$. Por otro lado, $B=\{0\}$ no es cerrado en $\mathbb{R}$ pero sí lo es en A ya que $B=(-\infty,0]\cap A$.

Conclusión: al considerar la topología relativa en un conjunto A (subconjunto de un espacio topológico X), el hecho de ser abierto o cerrado un subconjunto suyo respecto de la topología inducida en A no tiene relación con ser abierto o cerrado en el espacio topológico ambiente X.

Sobre un pequeño detalle

En R^2 consideramos dos topologías T_1 y T_2 dadas respectivamente por las bases

Volvamos a probar que T_1 está incluido en T_2 para observar un pequeño detalle. Por el criterio de Haussdorff, hay que probar que dado (z,t) en B_r(x,y), hay que entontrar un elemento tal que .

En particular, B_2 tiene que ser de la forma . Por tanto, y como , esto implica que b=t.

El detalle es el siguiente. El número a no tiene porqué ser z. En verdad, existen muchos (infinitos) conjuntos B_2 que satisfacen la propiedad. La cuestión es que para probar lo que queremos, basta con encontrar uno. Por tanto, y por cuestión de hacer mejor la demostración, vamos a tomar a=z. En tal caso, si tomamos entonces


¡En un dibujo está más claro!

Base de entornos "útiles"

Cuando escribo "útiles" quiero decir bases de entornos con un número pequeño de entornos. La idea, como siempre, es economizar. Como más adelante en la asignatura se trabajará con bases de entornos, cuanto menos entornos haya en la base de entornos, mucho mejor a la hora de comprobar, demostrar, etc.

De todas formas no por ello hay que rechazar de principio dos bases de entornos que (casi siempre) tenemos. Me refiero a: 1) Los abiertos que contienen al punto; 2) si B es una base de abiertos, entonces una base de entornos de x la forma los elementos de B contienen a x. Es evidente que la base 2) tiene menos elementos que en 1).

Pongo dos ejemplos de cómo es posible encontrar bases de entornos con menos entornos que en los dos casos estándares anteriores.

Primer ejemplo. El conjunto de los números reales R con la topología de Sorgenfrey. Una base de abiertos es B={[a,b);a < b_x="{[a,b);a" g_x="{[x,b),x">

Segundo ejemplo. Sea N con la topología T={A_n;n natural} con A_n={0,1,...,n}. Sea m un número natural. Una base de entornos de m la forma todos los abiertos que contienen a m, es decir, B_m={A_n;m< = n}. Pero una base de entornos más pequeña es G_m={A_m} (¡sólo hay un elemento en la base!).

Puede haber ejemplos de topologías donde no sea posible tan fácilmente encontrar base de entornos con un número pequeño de entornos. Pensad en la topología de los complementos finitos.

¡Qué rara es la última propiedad de entornos!

Sin lugar a dudas podemos asegurar que la última propiedad de entornos suena extraña. Dice lo siguiente:

Lo primero que hay que observar es que el resto de propiedades se refieren a un punto concreto x. Sin embargo en la última se involucra no sólamente a x sino más puntos. Esto, que no parece natural, contrasta cuando uno define espacio topológico a partir de abiertos, ya que no se habla de puntos sino de subconjuntos que satisfacen una serie de propiedades.

Si pensamos que los abiertos de un espacio topológico X nos va a decir la "forma" que tiene X, es normal entonces pensar que si sólo estudiamos entornos de puntos, en algún momento cuando se trabaje con un entorno de x, habrá que considerar los puntos que "rodean" a x. La forma del espacio no puede venir dada por lo que pasa en cada punto, sino por lo que pasa alrededor de dicho punto.

Por último cabe decir que en dicha propiedad aparece la noción de abierto (un conjunto que es entorno de todos sus puntos). Si explicamos con palabras se entiende mejor: dado un entorno V de x, entonces el conjunto V es entorno, no sólo de x, sino de más puntos, justamente puntos que constituyen un entorno de x (el entorno W). Este conjunto W es (casi) un conjunto abierto. En verdad, es el conjunto O formado por aquellos puntos y de V en los que V es entorno de y (véase la demostración del teorema 1.3.5 del temario).

Entorno: lo que nos rodea

Para la gente de la calle, "entorno de un punto" es el conjunto de puntos próximos al punto dado. En Topología, entorno de un punto es otra cosa diferente. La principal diferencia es que si hablamos de puntos próximos es porque estamos usando una distancia que nos permite saber cómo está de lejos o de cercano el resto de los puntos. Sin embargo, un espacio topológico no es un espacio métrico.

Si X es el espacio topológico y p es un habitante de X, en el lenguaje de la calle un entorno sería lo que "rodea a p". ¿Pero qué significa "rodea a p"? Recordando el concepto de entorno, se dice que un conjunto U es entorno de un punto p si hay un abierto O entre p y U. Por tanto, los entornos vienen dados por conjuntos que contienen a abiertos.

Este habitante p "ve" lo que le rodea si ve también a su alrededor un abierto que lo contiene. Es como si dicho conjunto abierto le abriera los ojos y le hiciera conocer lo que le rodea. Por el contrario, si C es un conjunto que contiene a p y enmedio no hay abiertos, para el habitante p este conjunto C no le permite conocer el espacio donde vive.

Para dicho habitante lo que le interesa es conocer "su entorno más cercano", es decir, entornos "pequeños en tamaño". Hay que recordar que cualquier conjunto que contenga a un entorno es también un entorno. Es al revés, el habitante p quiere conocer cómo es el espacio alrededor suyo y eso significa hallar entornos pequeños. Los ejemplos de la topología discreta y trivial muestran claramente lo anterior.

En el mundo de la topología discreta, para el habitante p el propio conjunto {p} ya es entorno de sí mismo. Conclusión: este entorno (el más pequeño posible) se reduce a él mismo. Nos imaginamos pues que p vive triste, solo y aislado en su mundo porque él ya es entorno.

En el mundo X de la topología trivial, para el habitante p el único entorno es todo el conjunto X: al contrario que antes, el habitante p se encuentra necesariamente rodeado de todos los habitantes de X y por tanto se encuentra feliz al estar acompañado de todo el mundo.

¡Las bolas no son "redondas"!

Una bola B_r(x) en un espacio métrico (X,d) es el conjunto {y;d(x,y) (menor que) r}. Aunque se llama bola, eso no quiere decir que sea "redonda", es más, casi nunca es redonda. Primero porque X es un conjunto arbitrario (¡no un subconjunto de R^n!), y otro, por que la distancia puede ser "rara". El ejemplo más claro es tomar X un conjunto arbitrario y d(x,y)=0 si x=y, d(x,y)=1 si x no es y. Entonces las bolas se reducen a un punto (si r<=1) o X si r>1.

En el plano R^2 sí podemos dibujar y preguntarnos si las bolas son redondas: esto ocurre cuando tomamos la distancia usual (porque entonces la distancia nos viene determinada por el metro de toda la vida). Pero si tomamos otras distancias, las bolas pueden ser de "formas" diferentes. Ya hemos visto en clase distancias donde las bolas son cuadradas (¡sorprendente! porque la topología que determina es la misma que la de las bolas "redondas").

Finalmente, en un espacio topológico no podemos hablar de bolas (ni redondas ni cuadradas) porque un espacio topológico no es un espacio métrico. Así que no tiene sentido preguntarse ¿cuáles son las bolas de la topología del punto incluido? Dicho de otro modo: los espacios métricos son espacios topológicos (al considerar la topología que genera las bolas), pero no todo espacio topológico es un espacio métrico (ni mucho menos).

De lo concreto y lo inconcreto

Un problema que le aparece un estudiante de Matemáticas a lo largo de la carrera es si un dibujo "demuestra o no demuestra". Después de pasar el primer curso, y harto de tantas demostraciones, los "para todos", los "existe", símbolos y más símbolos, la respuesta que daría sería "¡nunca!"

Supongamos que queremos probar si A es cierto o no. Uno hace un (simple) dibujo y ve claramente que es A es cierto. Un ejemplo es el siguiente, y que ha aparecido estos días: la unión de intervalos de la forma (a_i,infinito) es otro del mismo tipo si el conjunto {a_i;i en I} está acotado inferiormente o R si no está acotado.

El que hace un dibujo dice "¡pero si el dibujo lo prueba claramente!", y por tanto, no hay que escribir "símbolos matemáticos". Otro podría decir "un dibujo nunca demuestra lo que uno quiere probar. El dibujo se refiere a algo concreto, y el problema matemático que tengo es algo inconcreto".

Efectivamente, un dibujo no demuestra "matemáticamente" lo que uno quiere probar, pero a veces, sí da información de por dónde iría la demostración. En el caso anterior, con un dibujo uno pueve ver que la unión de (a_i,infinito) es (inf{a_i;i en I},infinito). El problema viene ahora:

1) ó el dibujo nos dice que es evidente.

2) ó hacemos la demostración (por escrito, con los símbolos, argumentando, etc).

Si de verdad, uno sabe hacer la demostración, piensa que es simple y que es perder el tiempo, entonces es "evidente" y no hay nada más que hablar. Para aquella persona que tiene dificultades lo mejor es que haga la demostración.

Un problema parecido es el siguiente: ¿con un dibujo es claro que la unión de intervalos de la forma [a_i,infinito) es R si el conjunto {a_i;i en I} no está acotado, ó (a,infinito) con a=infimo{a_i;i en I} ó [a,infinito) con a=mínimo{a_i;i en I}?

Finalmente, y como ha pasado hoy con la intersección de dos bolas de R^2, puede que el dibujo lo hagamos mal, y por tanto saquemos conclusiones erróneas.

Depende, ¿de qué depende?

Un intervalo abierto (a,b) de R ¿es un conjunto abierto?

Depende...¿de qué depende?

En principio la pregunta está mal formulada. Si se pregunta si tal o cual conjunto es abierto hay que decir en qué espacio topológico. Por tanto, la pregunta sería: un intervalo abierto ¿es un conjunto abierto en el espacio topológico (R,tau)?

El conjunto de los números reales R tiene muchas topologías, y en algunas, el intervalo abierto será un conjunto abierto, y en otras no. Por ejemplo:

1. R con la topología usual. Aquí (a,b) es un conjunto abierto porque forma parte de la base que define la topología.

2. R con la topología discreta. De nuevo, (a,b) es un conjunto abierto, porque cualquier subconjunto de R es un conjunto abierto.

3. R con la topología trivial. Aquí (a,b) no es abierto, porque los únicos abiertos son el vacío y R.

4. R con la topología de Sorgenfrey. Aquí sí es abierto pues (a,b) es la unión de los conjuntos [a+1/n,b), con n un número natural.

5. R con la topología dada por los intervalos de la forma (a,infinito). No es un conjunto abierto porque no es del tipo anterior.

Y así sucesivamente.

Lo mismo pasa para los intervalos cerrados. Un intervalo cerrado [a,b] ¿es un conjunto cerrado? Depende. Primero hay que formular bien la pregunta y decir en qué espacio topológico se está trabajando. Por ejemplo:

1. R con la topología del punto incluído con p=1. Entonces [2,3] es cerrado porque su complementario, que es (-infinito,2) unión (3,infinito) es un conjunto abierto.

2. En el ejemplo anterior, el intervalo [0,1] no es cerrado, porque el complementario, no es abierto al no contener al 1.

De todo lo anterior, el "apellido" abierto o cerrado a un intervalo de R puede dar un poco de confusión.

Y también la confusión de "abierto" y "cerrado". Parece que son conceptos contrarios, cuando no lo son. Hay conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez, pero bueno, ésa es ya otra historia.

Bases de topología: no hay que confundirse

Este post sólo se dedica a distinguir dos asuntos tratados en la clase de hoy. Ambos se refieren al concepto de base de una topología (importante: este post se ve con Internet Explorer, pero no con Mozilla FireFox.)

1º) En un espacio topologico (X,T) se ha dado el concepto de base de la topología.

2º) En un conjunto X (donde no hay una topología), hay una familia de subconjuntos. ¿qué propiedades debe tener para que haya una topología en X que tenga como base a T?

En el primer caso, ya tenemos un espacio topológico. Entonces beta es una base de T si es una familia de abiertos y satisface que cualquier abierto es unión de elementos de beta.

En el segundo caso, las propiedades que debe tener beta son:






Si esta propiedades se satisfacen, entonces (y a posteriori) se define la topología T como la unión de elementos de beta. En este caso, no había topología en X, y posteriormente (gracias a beta) el conjunto X junto con T, se ha convertido en espacio topológico, es decir, en un par (X,T).

Dos ejemplos pàra cada caso: sea X={a,b,c}

1º) T={vacío,X,{a},{b},{a,b}} es topología y beta={{a},{b}} es base de T.

2º) Sea alfa={X,{a},{c}}. Entonces alfa satisface las dos propiedades. ¿cuál es la topología T' que define alfa? T'={vacío, X,{a},{c},{a,c}}.

tema 1: el comienzo

Hoy hemos continuado con el concepto de espacio topológico. Ayer ya se dijo qué era un espacio topológico y qué eran los conjuntos abiertos de dicho espacio. Se han mostrado varios ejemplos: topología trivial, discreta, punto incluido, punto excluido, en R la topología dada por T={(a,infinity);a número real}, la topología de Sierpinski y, finalmente, topologías en un conjunto con tres elementos.

También se ha explicado qué son conjuntos cerrados.

Un alumno, en los primeros días de clase, se puede preguntar si la Topología se reduce a "teoría de conjuntos", y a jugar con conjuntos. La respuesta es: sí.

La topología que se aprende en segundo curso es, esencialmente, teoría de conjuntos. Esto es así, pero habría que añadir: es que tiene que ser así. Hay que ser pacientes, y esperar bastante tiempo (meses, años) para ver la potencialidad de la topología en otras ramas de las Matemáticas. Esto es "cuestión de fe". Pero lo mismo pasa con las otras asignaturas de la licenciatura.

"¿Y los conceptos de proximidad y cercanía?" "¿Y las deformaciones?" Para hablar de deformaciones hay que usar aplicaciones, y eso corresponde con el tema 2. En este tema sólo se va a trabajar con el objeto matemático de la asignatura: el espacio topológico. Y hay que haberlo manejado lo suficiente porque es imprescindible en el resto del curso. De nuevo, esto último parece un tópico para el alumno, pero es así.

Un consejo: repetir los ejercicios en casa, aunque sean sencillos (y sin mirar las soluciones). Por ejemplo, en la topología en R de los intervalos abiertos no acotados, ¿se ha probado realmente la segunda propiedad?

El teorema de los cuatro colores y Perelmann

Hoy hemos empezado con la asignatura. Sólo hemos dado la definición de espacio topológico.

Me he parado más en decir qué estudia la topología: aquéllas propiedades de un "conjunto" que no cambian por "deformaciones continuas". Se puede ver un artículo divulgativo sobre la topología: exactamente se titula "¿Qué es la topología?", de Marta Macho (Universidad del País Vasco). Es interesante y se puede descargar en
http://personales.ya.com/casanchi/mat/topologia.pdf

También he hablado sobre el teorema de los cuatro colores. Más información (fácil de entender) en

http://es.wikipedia.org/wiki/Colorear_un_mapa_con_4_colores
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/orden/mate1o.htm

También en otro artículo de Marta,

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/04-05/PG-04-05-macho.pdf

Respecto de la conjetura de Poincaré, el enlace

http://gaussianos.com/explicacion-del-teorema-de-poincare-perelman/

explica de qué va el teorema. Y si queréis saber más sobre vida y obra de la persona que resolvió el teorema, os remito a

http://es.wikipedia.org/wiki/Grigori_Perelman

Es interesante.

Muchos enlaces y textos para leer. Ahora, en el comienzo del curso, tenemos más tiempo y nos podemos relajar en lecturas como las anteriores que no dejan de ser curiosas.