Sin lugar a dudas podemos asegurar que la última propiedad de entornos suena extraña. Dice lo siguiente:
Lo primero que hay que observar es que el resto de propiedades se refieren a un punto concreto x. Sin embargo en la última se involucra no sólamente a x sino más puntos. Esto, que no parece natural, contrasta cuando uno define espacio topológico a partir de abiertos, ya que no se habla de puntos sino de subconjuntos que satisfacen una serie de propiedades.
Si pensamos que los abiertos de un espacio topológico X nos va a decir la "forma" que tiene X, es normal entonces pensar que si sólo estudiamos entornos de puntos, en algún momento cuando se trabaje con un entorno de x, habrá que considerar los puntos que "rodean" a x. La forma del espacio no puede venir dada por lo que pasa en cada punto, sino por lo que pasa alrededor de dicho punto.
Por último cabe decir que en dicha propiedad aparece la noción de abierto (un conjunto que es entorno de todos sus puntos). Si explicamos con palabras se entiende mejor: dado un entorno V de x, entonces el conjunto V es entorno, no sólo de x, sino de más puntos, justamente puntos que constituyen un entorno de x (el entorno W). Este conjunto W es (casi) un conjunto abierto. En verdad, es el conjunto O formado por aquellos puntos y de V en los que V es entorno de y (véase la demostración del teorema 1.3.5 del temario).
A mi no me parece tan rara, lo que pasa que escrito así matemáticamente resulta poco intuitivo.
ResponderEliminarCorríjame si me equivoco, pero a grandes rasgos la propiedad viene a decir que un entorno de un punto también es entorno de los puntos que contiene.
A mi me parece que no es así, porque un conjunto que es entorno de todos sus puntos, es un abierto, pero no todos los entornos son abiertos, así que no puede ser.
ResponderEliminarPor ejemplo en R2, con la topología usual, la bola cerrada de centro x y radio r, es entorno de x, porque contiene a la bola abierta de centro x y radio r. Pero si cogemos un punto que esté exactamente a una distancia r de x (a), la bola cerrada no es entorno de a, ya que no hay ninguna bola de centro a y radio e>0, que se quede centro de la bola cerradade centro x y radio r, por muy pequeño que yo coja e.
Para René: un entorno de un punto no es entorno de todos los puntos que contiene. El ejemplo de Conce vale perfectamente. Lo que hay que decir es que es entorno no sólo del punto sino de más puntos ¿cuántos puntos?: otro entorno del punto original.
ResponderEliminarOtra cosa: cuando uno trabaja con entornos de un punto es mejor tratar con "entornos abiertos", es decir, abiertos que contienen al punto: en tal caso, el abierto sería entorno de todos sus puntos.
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