Un problema que le aparece un estudiante de Matemáticas a lo largo de la carrera es si un dibujo "demuestra o no demuestra". Después de pasar el primer curso, y harto de tantas demostraciones, los "para todos", los "existe", símbolos y más símbolos, la respuesta que daría sería "¡nunca!"
Supongamos que queremos probar si A es cierto o no. Uno hace un (simple) dibujo y ve claramente que es A es cierto. Un ejemplo es el siguiente, y que ha aparecido estos días: la unión de intervalos de la forma (a_i,infinito) es otro del mismo tipo si el conjunto {a_i;i en I} está acotado inferiormente o R si no está acotado.
El que hace un dibujo dice "¡pero si el dibujo lo prueba claramente!", y por tanto, no hay que escribir "símbolos matemáticos". Otro podría decir "un dibujo nunca demuestra lo que uno quiere probar. El dibujo se refiere a algo concreto, y el problema matemático que tengo es algo inconcreto".
Efectivamente, un dibujo no demuestra "matemáticamente" lo que uno quiere probar, pero a veces, sí da información de por dónde iría la demostración. En el caso anterior, con un dibujo uno pueve ver que la unión de (a_i,infinito) es (inf{a_i;i en I},infinito). El problema viene ahora:
1) ó el dibujo nos dice que es evidente.
2) ó hacemos la demostración (por escrito, con los símbolos, argumentando, etc).
Si de verdad, uno sabe hacer la demostración, piensa que es simple y que es perder el tiempo, entonces es "evidente" y no hay nada más que hablar. Para aquella persona que tiene dificultades lo mejor es que haga la demostración.
Un problema parecido es el siguiente: ¿con un dibujo es claro que la unión de intervalos de la forma [a_i,infinito) es R si el conjunto {a_i;i en I} no está acotado, ó (a,infinito) con a=infimo{a_i;i en I} ó [a,infinito) con a=mínimo{a_i;i en I}?
Finalmente, y como ha pasado hoy con la intersección de dos bolas de R^2, puede que el dibujo lo hagamos mal, y por tanto saquemos conclusiones erróneas.
Pero si lo que queremos demostrar que algo no es cierto, sí que nos vale un dibujo, ¿o no?
ResponderEliminarEn ese caso el dibujo muestra que hay un caso en el que no se cumple, con lo que para negar un para todo, valdría, ¿no?
Pienso que no, que no vale (una curiosidad, decir que "A no es cierto" es lo mismo que "(no A) es cierto").
ResponderEliminarCuando dices que "el dibujo muestra" que algo no es cierto, es lo mismo que yo decía de "se ve". Si lo que piensas es en aquel tipo de ejercicios de "mostrar un contraejemplo" para ver que algo no es cierto, es lo mismo: cuando "dibujas" el contraejemplo, tiene que ser un "buen dibujo". No por el hecho de que un contraejemplo es "algo concreto" y el dibujo también, ya has resuelto bien el problema, porque tiene que estar bien.