Cuando escribo "útiles" quiero decir bases de entornos con un número pequeño de entornos. La idea, como siempre, es economizar. Como más adelante en la asignatura se trabajará con bases de entornos, cuanto menos entornos haya en la base de entornos, mucho mejor a la hora de comprobar, demostrar, etc.
De todas formas no por ello hay que rechazar de principio dos bases de entornos que (casi siempre) tenemos. Me refiero a: 1) Los abiertos que contienen al punto; 2) si B es una base de abiertos, entonces una base de entornos de x la forma los elementos de B contienen a x. Es evidente que la base 2) tiene menos elementos que en 1).
Pongo dos ejemplos de cómo es posible encontrar bases de entornos con menos entornos que en los dos casos estándares anteriores.
Primer ejemplo. El conjunto de los números reales R con la topología de Sorgenfrey. Una base de abiertos es B={[a,b);a < b_x="{[a,b);a" g_x="{[x,b),x">
Segundo ejemplo. Sea N con la topología T={A_n;n natural} con A_n={0,1,...,n}. Sea m un número natural. Una base de entornos de m la forma todos los abiertos que contienen a m, es decir, B_m={A_n;m< = n}. Pero una base de entornos más pequeña es G_m={A_m} (¡sólo hay un elemento en la base!).
Puede haber ejemplos de topologías donde no sea posible tan fácilmente encontrar base de entornos con un número pequeño de entornos. Pensad en la topología de los complementos finitos.
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