Las bolas dependen de las distancias (aunque éstas sean parecidas)

Sea un espacio métrico (X,d) y A un subconjunto de X. Sea d' la distancia inducida en A. Dado a en A, las bolas B_r(a) de a en (X,d) no son las mismas que las bolas B_r^A(a) en (A,d'). Una bola del primer tipo la forma puntos x de X con . Para las otras, son puntos x de A tal que . Exactamente se tiene que

.

Un ejemplo es el siguiente. Sea X=R con la distancia usual y sea . Tomamos a=0. Entonces
,

Si tomamos a=2, se tiene y

Sea la topología de (X,d) y la de (A,d'). El conjunto A tiene, en principio dos topologías. Una es (la que proviene de la distancia d'); la otra es , es decir, la relativa de . Lo que se ha probado hoy es que ambas coinciden.