Cuidado con la topología relativa

Consideramos $X=\mathbb{R}$ con la topología usual y $A=[0,1)\cup\{3\}$. Véamos que el conjunto $B=[0,1)$ es abierto y es cerrado en A. Basta con darse cuenta de que $B=[0,1]\cap A$ y $B=(-1,1)\cap A$.

Sin embargo el conjunto B no es ni abierto ni cerrado en $\mathbb{R}$.

Un ejemplo en $\mathbb{R}^2$ (con la topología usual) es el siguiente. Sea $A=[0,1]\times[0,1)\cup\{(4,4)\}$ y $B=[0,1]\times [0,1)$. Este conjunto no es ni abierto ni es cerrado en $\mathbb{R}^2$. Sin embargo es abierto y es cerrado en A, ya que $B=B_3(0,0)\cap A$ y $B=\overline{B_3(0,0)}\cap A$.

En otras topologías sucede lo mismo. Por ejemplo, se considera $\mathbb{R}$ con la topología que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$. Sea $A=[0,3]$ y se considera el conjunto $B=(2,3]$. Este conjunto no es abierto en $\mathbb{R}$. Sin embargo es abierto en A ya que
$B=A\cap (2,\infty)$. Por otro lado, $B=\{0\}$ no es cerrado en $\mathbb{R}$ pero sí lo es en A ya que $B=(-\infty,0]\cap A$.

Conclusión: al considerar la topología relativa en un conjunto A (subconjunto de un espacio topológico X), el hecho de ser abierto o cerrado un subconjunto suyo respecto de la topología inducida en A no tiene relación con ser abierto o cerrado en el espacio topológico ambiente X.